Question

已知：如下图，△ABC中，∠ABC=45°，CD⊥AB于D，BE平分∠ABC，且BE⊥AC于E，与CD相交于点F，H是BC边的中点，连接DH与BE相交于点G。
（1）求证：BF=AC；
（2）求证：CE=BF；
（3）CE与BG的大小关系如何？试证明你的结论。

Answer 1

解：（1）∵CD⊥AB，∠ABC=45°，
∴△BCD是等腰直角三角形，
∴BD=CD，
在Rt△DFB和Rt△DAC中，
∵∠DBF=90°﹣∠BFD，∠DCA=90°﹣∠EFC，
且∠BFD=∠EFC，
∴∠DBF=∠DCA，
又∵∠BDF=∠CDA=90°，BD=CD，
∴Rt△DFB≌Rt△DAC，
∴BF=AC；
（2）在Rt△BEA和Rt△BEC中，
∵BE平分∠ABC，
∴∠ABE=∠CBE，
又∵BE=BE，∠BEA=∠BEC=90°，
∴Rt△BEA≌Rt△BEC，
∴CE=AE=AC，
又由（1），知BF=AC，
∴CE=AC=BF；
（3）2CE²=BG²
证明：∠ABC=45°，CD垂直AB于D，
则CD=BD，H为BC中点，
则DH⊥BC（等腰三角形“三线合一”）
连接CG，
则BG=CG，∠GCB=∠GBC=22.5°，∠EGC=45°，
又∵BE垂直AC，
故∠EGC=∠ECG=45°，CE=GE，
∴CE²+GE²=CG²=BG²；
即2CE²=BG²，BG=CE。