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    精英家教网 > 初中数学 > 题目详情
    精英家教网已知：如图，抛物线y=ax2+bx+c经过原点（0，0）和A（1，-3）、B（-1，5）三点．
    （1）求抛物线的解析式．
    （2）设抛物线与x轴的另一个交点为C．以OC为直径作⊙M，如果过抛物线上一点P作⊙M的切线PD，切点为D，且y轴的正半轴交于点为E，连接MD．已知点E的坐标为（0，m），求四边形EOMD的面积．（用含m的代数式表示）
    （3）延长DM交⊙M于点N，连接ON、OD，当点P在（2）的条件下运动到什么位置时，能使得S四边形EOMD=S△DON？请求出此时点P的坐标．
    分析：（1）将O、A、B三点坐标代入抛物线的解析式中，即可求出待定系数的值，从而确定抛物线的解析式；
    （2）连接EM；由于ED、EO都是⊙M的切线，根据切线长定理可得到ED=EO，根据SSS可证得△EDM≌△EOM，则它们的面积相等，因此四边形EOMD的面积其实是△EOM的面积的2倍，以OM为底，OE为长可求出△EOM的面积，即可得到四边形EOMD的面积表达式；
    （3）△DON中，MN=DM，所以△DMO和△OMN等底同高，它们的面积相等；由此可证得△EOM与△OMD的面积相等，由于这两个三角形共用底边OM，则ED∥x轴，根据⊙M的半径即得到直线PD的解析式，联立抛物线的解析式即可求出P点的坐标．
    解答：解：（1）∵抛物线y=ax2+bx+c过O（0，0）、A（1，-3）、B（-1，5）三点，
    ∴
    c=0
    a+b+c=-3
    a-b+c=5
    ，
    解得
    a=1
    b=-4
    c=0
    ，
    ∴抛物线的解析式为y=x2-4x；

    （2）抛物线y=x2-4x与轴的另一个交点坐标为C（4，0），
    连接EM．
    ∴⊙M的半径是2，即OM=DM=2．
    ∵ED、EO都是⊙M的切线，
    ∴EO=ED．
    ∴△EOM≌△EDM．
    ∴S四边形EOMD=2S△OME=2×
    1
    2
    OM•OE=2m；

    （3）设点D的坐标为（x0，y0），
    ∵S△DON=2S△DOM=2×
    1
    2
    OM×y0=2y0，
    当S四边形EOMD=S△DON时，即2m=2y0，m=y0；
    ∵m=y0，ED∥x轴，
    又∵ED为切线，
    ∴D点的坐标为（2，2）；
    ∵P在直线ED上，故设P点的坐标为（x，2），
    ∵P在抛物线上，
    ∴2=x2-4x，
    解得x=2±
    		6
    ；
    ∴P（2+
    		6
    ，2）或P（2-
    		6
    ，2）为所求．
    点评：此题是二次函数与圆的综合题，考查了二次函数解析式的确定、全等三角形的性质、切线长定理、函数图象交点及图形面积的求法等重要知识．此题难度较大，注意能够发现△EOM、△OMD的面积关系，从而得到直线PD与x轴的位置关系是解题的关键．
    练习册系列答案
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    科目：初中数学 来源： 题型：

    已知：如图，抛物线y=ax2+bx+c与x轴交于A、B两点，它们的横坐标分别为-1和3，精英家教网与y轴交点C的纵坐标为3，△ABC的外接圆的圆心为点M．
    （1）求这条抛物线的解析式；
    （2）求图象经过M、A两点的一次函数解析式；
    （3）在（1）中的抛物线上是否存在点P，使过P、M两点的直线与△ABC的两边AB、BC的交点E、F和点B所组成的△BEF和△ABC相似？若存在，求出点P的坐标；若不存在，请说明理由．

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    科目：初中数学 来源： 题型：

    已知：如图，抛物线的顶点为点D，与y轴相交于点A，直线y=ax+3与y轴也交于点A，矩形ABCO的顶点B在精英家教网此抛物线上，矩形面积为12，
    （1）求该抛物线的对称轴；
    （2）⊙P是经过A、B两点的一个动圆，当⊙P与y轴相交，且在y轴上两交点的距离为4时，求圆心P的坐标；
    （3）若线段DO与AB交于点E，以点D、A、E为顶点的三角形是否有可能与以点D、O、A为顶点的三角形相似，如果有可能，请求出点D坐标及抛物线解析式；如果不可能，请说明理由．

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    科目：初中数学 来源： 题型：

    （2013•宁化县质检）已知：如图，抛物线y=ax2+bx+c与x轴交于点A（1-
    		3
    ，0）和点B，将抛物线沿x轴向上翻折，顶点P落在点P′（1，3）处．
    （1）求原抛物线的解析式；
    （2）在原抛物线上，是否存在一点，与它关于原点对称的点也在该抛物线上？若存在，求满足条件的点的坐标；若不存在，说明理由．
    （3）学校举行班徽设计比赛，九年级（5）班的小明在解答此题时顿生灵感：过点P′作x轴的平行线交抛物线于C、D两点，将翻折后得到的新图象在直线CD以上的部分去掉，设计成一个“W”型的班徽，“5”的拼音开头字母为W，“W”图案似大鹏展翅，寓意深远；而且小明通过计算惊奇的发现这个“W”图案的高与宽（CD）的比非常接近黄金分割比
    		5
    -1
    2
    （约等于0.618）．请你计算这个“W”图案的高与宽的比到底是多少？（参考数据：
    		5
    ≈2.236    ，
    		6
    ≈2.449    ，结果精确到0.001）

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    科目：初中数学 来源： 题型：

    已知，如图，抛物线y=ax2-2ax+c（a≠0）与y轴交于点C（0，4），与x轴交于点A，B，点A的坐标为（4，0）．
    （1）求该抛物线的解析式；
    （2）若点M在抛物线上，且△ABC与△ABM的面积相等，直接写出点M的坐标；
    （3）点Q是线段AB上的动点，过点Q作QE∥AC，交BC于点E，连接CQ．当△CQE的面积最大时，求点Q的坐标；
    （4）若平行于x轴的动直线l与线段AC交于点F，点D的坐标为（2，0）．问：是否存在这样的直线l，使得△ODF是等腰三角形？若存在，请求出直线l的解析式；若不存在，请说明理由．

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    科目：初中数学 来源： 题型：

    精英家教网已知，如图，抛物线y=x2+px+q与x轴相交于A、B两点，与y轴交于点C，且OA≠OB，OA=OC，设抛物线的顶点为点P，直线PC与x轴的交点D恰好与点A关于y轴对称．
    （1）求p、q的值．
    （2）在题中的抛物线上是否存在这样的点Q，使得四边形PAQD恰好为平行四边形？若存在，求出点Q的坐标；若不存在，请说明理由．
    （3）连接PA、AC．问：在直线PC上，是否存在这样点E（不与点C重合），使得以P、A、E为顶点的三角形与△PAC相似？若存在，求出点E的坐标；若不存在，请说明理由．

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