Question

如图，在平面直角坐标系中，将直线y=-

3

3

x沿y轴向上平移1个单位，与x轴、y轴分别交于A、B，线段AB为边在第一象限内作等边△ABC．
（1）点A的坐标为（

 

），点B的坐标为（

 

）；
（2）求以C为顶点，经过B点的抛物线的函数关系式；
（3）在（2）中的抛物线上，是否存在点P（与C不重复），使△PAB的面积与△ABC的面积相等？如果存在，求出此时点P的坐标；如果不存在，请说明理由．

Answer 1

分析：（1）∵直线AB是由直线y=-

3

3

x沿y轴向上平移1个单位得到的，根据两直线平行的关系可以得出直线AB的解析式，当x=0或y=0时就可以求出点A，点B的坐标．
（2）根据三角形ABC是等边三角形和三角形AOB是直角三角形求出点C的坐标，再设出抛物线的解析式为顶点式的形式，利用待定系数法就可以求出抛物线的解析式．
（3）设出P的坐标，过点P作PE⊥OA于点E，表示出S_梯形OBPE-S_△AOB-S_△APE=S_△ABC，从而根据面积关系列出式子，求出其点P的坐标．

解答：解：（1）∵直线AB是由直线y=-

3

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x沿y轴向上平移1个单位得到的，
∴直线AB的解析式为：y=-

3

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x+1，
当x=0时，y=1，
∴B（0，1），OB=1，
当y=0时，x=

3

，
∴A（

3

，0），OA=

3

，
故答案为：B（0，1），A（

3

，0）；

（2）在Rt△AOB中，由勾股定理，得
AB=2，∴AB=2OB，
∴∠OAB=30°，
∵△ABC为等边三角形，
∴AB=BC=AC=2，∠ABC=∠ACB=∠BAC=60°，
∴∠OAC=∠OAB+∠BAC=90°，
∴CA⊥OA，
∴C（

3

，2），
设抛物线的解析式为：y=a（x-

3

）²+2，由题意，得
1=a（0-

3

）²+2，解得：a=-

1

3

，
∴抛物线的解析式为：y=-

1

3

（x-

3

）²+2，即y=-

1

3

x²+

2

3

3

x+1，

（3）当P点在AB的游方时，设点P（m，n），则P（m，-

1

3

m²+

2

3

3

m+1），
∴PE=-

1

3

m²+

2

3

3

m+1，
∴

(- 1 3 m2+ 2 3 3 m+1+1 )m

2

-

(- 1 3 m2+ 2 3 3 m+1)(m- 3  )

2

-

3

2

=

3

解得：m₁=

3

（舍去，与C点重合），m₂=2

3

，
∴P（2

3

，1），
当P点在AB的左方时，设P（a，b），则P（a，-

1

3

a²+

2

3

3

a+1），作PG⊥OA于G，交CB的延长于点F，设CF的解析式为：y=kx+b，由题意得：直线CF的解析式为：y=

3

3

x+1，∴F（a，

3

3

a+1）
∴GF=

3

3

a+1，PG=

1

3

a²-

2

3

3

a-1，PF=

1

3

a²-

3

3

a，GO=-a，AG=

3

-a

( 1  3 a2- 3 3 a+2  )( 3 -a)

2

-

-a( 1 3 a2- 3 3 a)

2

=2

3

解得：a1=

3 3 + 51

2

，a2=

3 3 - 51

2

∴P点的坐标为（

3 3 + 51

2

，

-5-4 17

2

）或（

3 3 - 51

2

，

-5+4 17

2

）
∴P点的坐标为（

3 3 + 51

2

，

-5-4 17

2

）、（

3 3 - 51

2

，

-5+4 17

2

）或（2

3

，1）

点评：本题考查了待定系数法求二次函数解析式、勾股定理的运用、等边三角形的性质，梯形、三角形的面积的计算等知识点，综合性强，考查学生分类讨论，数形结合的数学思想方法．