Question

已知以x为自变量的二次函数y=4x²-8nx-3n-2，该二次函数图象与x轴的两个交点的横坐标的差的平方等于关于x的方程x²-（7n+6）x+2（n+1）（5n+4）=0的一整数根，求n的值．

Answer 1

分析：首先运用因数分解法把方程x²-（7n+6）x+2（n+1）（5n+4）=0变形为（x-2n-2）（x-5n-4）=0，则这一整数根即为2n+2或5n+4；根据抛物线与x轴的两个交点的横坐标的差的平方等于

b2-4ac

a2

，进一步求解，然后得到关于n的方程即可．

解答：解：∵方程x²-（7n+6）x+2（n+1）（5n+4）=0变形为（x-2n-2）（x-5n-4）=0，
则整数根即为2n+2或5n+4．
又抛物线与x轴的两个交点的横坐标的差的平方等于

b2-4ac

a2

=4n²+3n+2，
①当4n²+3n+2=2n+2时，解得n=0或n=-

1

4

（应舍去）；
②当4n²+3n+2=5n+4时，解得n=1或-

1

2

（应舍去）．
则n=1或0．

点评：此题要能够熟练运用因式分解法解一元二次方程和熟悉抛物线与x轴的两个交点的距离公式．