Question

【题目】如图，的直径为，弦为，、分别是的平分线与，的交点，为延长线上一点，且．

求、的长；

试判断直线与的位置关系，并说明理由．

Answer 1

【答案】（1），；直线与相切，理由详见解析．

【解析】

（1）连接BD，利用直径所对的圆周角是直角得两个直角三角形，再由角平分线得：∠ACD=∠DCB=45°，由同弧所对的圆周角相等可知：△ADB是等腰直角三角形，利用勾股定理可以求出直角边AD=5，AC的长也是利用勾股定理列式求得；

（2）连接半径OC，证明垂直即可；利用直角三角形中一直角边是斜边的一半得：这条直角边所对的锐角为30°，依次求得∠COB、∠CEP、∠PCE的度数，最后求得∠OCP=90°，结论得出.

解:（1）连接BD，

∵AB是⊙O的直径，

∴∠ACB=∠ADB=90°'，

∵CD平分∠ACB，

∴∠ACD=∠DCB=45°，

∴∠ABD=∠ACD=45°，∠DAB=∠DCB=45°，

∴△ADB是等腰直角三角形，

∵AB=10，

∴AD=BD==5，

在Rt△ACB中，AB=10，BC=5，

∴AC==5，

∴，；

直线与相切，理由是：

连接，

在中，，，

∴，

∵，

∴，

∴，

∵，

∴，

∴，

∵，

∴，

∴，

∴直线与相切．