Question

如图，在平面直角坐标系中，已知△OAB是等腰三角形（OB为底边），顶点A的坐标是（2，4），点B在x轴上，点Q的坐标是（-6，0），AD⊥x轴于点D，点C是AD的中点，点P是直线BC上的一动点．
（1）求点C的坐标．
（2）若直线QP与y轴交于点M，问：是否存在点P，使△QOM与△ABD相似？若存在，请求出点P的坐标；若不存在，请说明理由．
（3）以点P为圆心、

2

为半径长作圆，得到动圆⊙P，过点Q作⊙P的两条切线，切点分别是E、F．问：是否存在以Q、E、P、F为顶点的四边形的最小面积S？若存在，请求出S的值；若不存在，请说明理由．

Answer 1

分析：（1）由题意知AD⊥x轴于点D，点C是AD的中点，所以C（2，2）；
（2）假设存在点P使△QOM与△ABD相似，则由已知条件和相似三角形的性质得知

OM

BD

=

OQ

AD

或

OM

AD

=

OQ

BD

，继而求得使条件成立的M点坐标可能是：（0，3）或者（0，-3），（0，12）或者（0，-12）；不同的坐标对应直线PQ不同的解析式；然后解由直线QP与直线BC的解析式组成的方程组，求得点M的坐标；
（3）以P为圆心、2为半径作圆，过Q作此圆的两条切线，切点分别是E、F，连接PE、PF（图2）；根据切线的性质来证明△PEQ≌△PFQ，S_{四边形QEPF}=2QE，当点P在直线BC上移动时，QE的大小由PQ的大小确定，PQ最小时，QE达到最小，从而使四边形QEPF的面积最小．显然，在所有点Q到直线BC的距离中，当QP⊥BC时QP的长是最小的，所以此时四边形QEPF的面积即为最小面积．

解答：解：（1）∵△AOB是等腰三角形，顶点A的坐标是（2，4），
又∵AD⊥x轴于点D，点C是AD的中点，
∴C（2，2）；（2分）

（2）∵△QOM与△ABD相似，而∠QOM=∠ADB=90°，
∴必有

OM

BD

=

OQ

AD

或

OM

AD

=

OQ

BD

，（图1）（1分）
又∵AD=4，BD=2，OQ=6，
∴OM=3或者12，
∴使条件成立的M点坐标可能是：
（0，3）或者（0，-3），（0，12）或者（0，-12），（1分）
又∵Q（-6，0），
∴①当M（0，3）时，直线QP的解析式是：y=

1

2

x+3；
②当M（0，-3）时，直线QP的解析式是：y=-

1

2

x-3；
③当M（0，12）时，直线QP的解析式是：y=2x+12；
④当M（0，-12）时，直线QP的解析式是：y=-2x-12；（2分）
∵B（4，0），C（2，2），
∴直线BC的解析式是：y=-x+4；（1分）
分别解由直线QP与直线BC的解析式组成的方程组：
①

y= 1 2 x+3 y=-x+4

，②

y=- 1 2 x-3 y=-x+4

，③

y=2x+12 y=-x+4

，④

y=-2x-12 y=-x+4

得：①

x= 2 3 y= 10 3

，②

x=14 y=-10

，③

x=- 8 3 y= 20 3

，④

x=8 y=-4

使△QOM与△BCD相似的点P的坐标是(

2

3

，

10

3

)，（14，-10），(-

8

3

，

20

3

)或者（-16，20）．（2分）

说明：以上解题过程中，每少一种情况扣（1分），格式不对或解题不完整酌情扣分．

（3）以P为圆心、

2

为半径作圆，过Q作此圆的两条切线，切点分别是E、F，连接PE、PF（图2）．
则PE=PF=

2

，PQ=PQ，∠PEQ=∠PFQ=90°，
∴△PEQ≌△PFQ；（1分）
∴S四边形QEPF=2×S△QEP=2×

1

2

×PE×QE=2QE．（1分）
∵QE²=PQ²-PE²=PQ²-2，
当点P在直线BC上移动时，QE的大小由PQ的大小确定，PQ最小时，QE达到最小，从而使四边形QEPF的面积最小．显然，在所有点Q到直线BC的距离中，当QP⊥BC时QP的长是最小的，
∴此时四边形QEPF的面积即为最小面积．
（1分）
当QP⊥BC于P时，∠QPB=∠BDC=90°，∠PBQ=∠DBC，
故△PBQ∽△DBC，
∴

PQ

BD

=

BQ

BC

，而CD=2，BD=2，
∴BC=2

2

，
∴

PQ

2

=

10

2 2

∴PQ=5

2

，（1分）
∴QE=

PQ2-2

=

50-2

=

48

=4

3

，
∴四边形QEPF的最小面积=

2

QE=4

6

．（1分）

说明：解法不同参考给分，格式不对或解题不完整酌情扣分．

点评：本题是综合性比较强的一道题，它集相似三角形的性质与判定、等腰三角形的性质、勾股定理以及切线的性质，是难度较大的题型．