Question

12．抛物线y=ax²+bx+c与x轴的交点为A（-1，0）和B（3，0），与直线y=-x+k相交于点A和点C（2，-3）．
（1）求直线与抛物线的解析式；
（2）若点P在抛物线上，且以点P和A、C以及另一点Q为顶点的平行四边形ACQP面积为12，求点P、Q的坐标；
（3）在（2）条件下，若点M是x轴下方抛物线上的动点，当△PQM的面积最大时，请求出△PQM的最大面积及点M的坐标．

Answer 1

分析 （1）把A、B、C三点的坐标代入y=ax²+bx+c，把C点坐标代入y=-x+k，根据待定系数法即可求得；
（2）AC所在直线的解析式为：y=-x-1，根据平行四边形ACQP的面积为12，求出AC边上的高为2$\sqrt{2}$，过点D作DK⊥AC与PQ所在直线相交于点K，求出DK、DN，得到PQ的解析式为y=-x+3或y=-x-5，求出方程组的解，即可得到P₁（3，0），P₂（-2，5），根据ACQP是平行四边形，求出Q的坐标；同法求出以AC为对角线时P、Q的坐标；
（3）设M（t，t²-2t-3），（-1＜t＜3），过点M作y轴的平行线，交PQ所在直线于点T，则T（t，-t+3），求出MT=-t²+t+6，过点M作MS⊥PQ所在直线于点S，求出MS=-$\frac{\sqrt{2}}{2}$（t-$\frac{1}{2}$）²+$\frac{25\sqrt{2}}{8}$，即可得到答案．

解答 解：（1）如图1，∵直线y=-x+k经过点C（2，-3）．
∴-2+k=-3，
∴k=-1，
∴直线的解析式为y=-x-1，
∵抛物线y=ax²+bx+c与x轴的交点为A（-1，0）和B（3，0），且经过点C（2，-3）．
∴$\left\{\begin{array}{l}{a-b+c=0}\\{9a+3b+c=0}\\{4a+2b+c=-3}\end{array}\right.$，解得$\left\{\begin{array}{l}{a=1}\\{b=-2}\\{c=-3}\end{array}\right.$，
∴抛物线的解析式为y=x²-2x-3；

（2）∵A（-1，0），C（2，-3），
∴由勾股定理得：AC=$\sqrt{（2+1）^{2}+{3}^{2}}$=3$\sqrt{2}$，
∵AC所在直线的解析式为：y=-x-1，
∴∠BAC=45°，
∵平行四边形ACQP的面积为12，
∴平行四边形ACQP中AC边上的高为$\frac{12}{3\sqrt{2}}$=2$\sqrt{2}$，
如图2，过点D作DK⊥AC与PQ所在直线相交于点K，DK=2$\sqrt{2}$，
∴DN=4，
∵四边形ACQP，PQ所在直线在直线ADC的两侧，可能各有一条，
∴根据平移的性质得出直线PQ的解析式为①y=-x+3或②y=-x-5，
∴由①得：$\left\{\begin{array}{l}{y={x}^{2}-2x-3}\\{y=-x+3}\end{array}\right.$，
解得：$\left\{\begin{array}{l}{{x}_{1}=3}\\{{y}_{1}=0}\end{array}\right.$或$\left\{\begin{array}{l}{{x}_{2}=-2}\\{{y}_{2}=5}\end{array}\right.$，
由②得：$\left\{\begin{array}{l}{y={x}^{2}-2x-3}\\{y=-x-5}\end{array}\right.$，方程组无解，
即P₂（3，0），P₁（-2，5），
∵ACQP是平行四边形，A（-1，0），C（2，-3），
①当P（-2，5）时，Q₁（1，2），
②当P（3，0）时，Q₂（6，-3），
综上，点P，Q的坐标是P₁（-2，5），Q₁（1，2）或P₂（3，0），Q₂（6，-3）．

（3）设M（t，t²-2t-3），（-1＜t＜3），
如图3，过点M作y轴的平行线，交PQ所在直线于点T，则T（t，-t+3），
MT=（-t+3）-（t²-2t-3）=-t²+t+6，
过点M作MS⊥PQ所在直线于点S，
MS=$\frac{\sqrt{2}}{2}$MT=$\frac{\sqrt{2}}{2}$（-t²+t+6）=-$\frac{\sqrt{2}}{2}$（t-$\frac{1}{2}$）²+$\frac{25\sqrt{2}}{8}$，
则当t=$\frac{1}{2}$时，M（$\frac{1}{2}$，-$\frac{15}{4}$），△PQM中PQ边上高的最大值为$\frac{25\sqrt{2}}{8}$，
∵P₁（3，0），Q₁（6，-3）或P₂（-2，5），Q₂（1，2）．
∴当P（3，0），Q（6，-3）时，PQ=$\sqrt{（3-6）^{2}+{3}^{2}}$=3$\sqrt{2}$．
当P（-2，5），Q（1，2）时，PQ=$\sqrt{（-2-1）^{2}+（5-2）^{2}}$=3$\sqrt{2}$，
∴S_△PQM=$\frac{1}{2}$×PQ×$\frac{25\sqrt{2}}{8}$=$\frac{75}{8}$．
故△PQM的最大面积是$\frac{75}{8}$，点M的坐标是（$\frac{1}{2}$，-$\frac{15}{4}$）．

点评 本题主要考查对用待定系数法求二次函数的解析式，二次函数的最值，平行四边形的性质，解二元一次方程组等知识点的理解和掌握，综合运用这些性质进行计算是解此题的关键，此题是一个综合性比较强的题目，有一定的难度．