Question

如图，Rt△ABC中，∠C=90°，P是斜边AB上的一个动点（不与AB重合），过P分别作PM⊥AC，PN⊥BC，△AMP的面积是S₁，△PNB的面积是S₂，四边形CMPN的面积是S₃，S₁+S₂与S₃之间有怎样的关系？

Answer 1

分析：（1）首先假设P是AB的中点时求出S₁+S₂=S₃；（2）当P不是中点时和图形（1）比较利用平行线分线段成比例定理和矩形的面积公式求出S₁+S₂＞S₃，综合（1）（2）即可得出答案．

解答：解：S₁+S₂与S₃之间的关系是S₁+S₂≥S₃．
理由是：（1）当P是AB的中点Q时，过Q做QF⊥BC于F，QE⊥AC于E，连接CQ，
∵∠ACB=90°，
∴QF∥AC，QE∥BC，
∴E为AC的中点，F为BC的中点，
根据等底同高的三角形的面积相等，S_△AQE=S_△CQE，S_△CQF=S_△BQF，
∴S_△AQE+S_△BQF=S_△CQE+S_△CQF，
即：S₁+S₂=S₃．
（2）当P不是AB的中点Q时，如图：
∵QF⊥BC，QE⊥AC，PM⊥AC，PN⊥BC，
∴QE∥PM，PN∥QF，
∴

PQ

AQ

=

OP

OM

，

PQ

BP

=

OQ

PN

，
∵AQ=BQ＞BP，
∴

OP

OM

＜

OQ

PN

，
即：OP•PN＜OQ•OM，
∴S_{四边形OPNF}＜S_{四边形OQEM}，
∴S_{四边形CNPM}＜S_{四边形CEQF}，
即：S₃＜

1

2

S_△ABC
而S_△ABC=S₁+S₂+S₃，
∴S₃＜

1

2

S_△ABC=

1

2

（S₁+S₂+S₃）
∴S₃＜S₁+S₂，
综合上述：S₁+S₂与S₃之间的关系是S₁+S₂≥S₃．
答：S₁+S₂与S₃之间的关系是S₁+S₂≥S₃．

点评：本题主要考查了面积及等积变换，平行四边形的性质和判定，三角形的面积，平行线分线段成比例定理等知识点，解此题的关键是分类讨论．题目较好，但有一定的难度．