【题目】正方形ABCD中,点O是对角线DB的中点,点P是DB所在直线上的一个动点,PE⊥BC于E,PF⊥DC于F.
(1)当点P与点O重合时(如图①),猜测AP与EF的数量及位置关系,并证明你的结论;
(2)当点P在线段DB上(不与点D、O、B重合)时(如图②),探究(1)中的结论是否成立?若成立,写出证明过程;若不成立,请说明理由;
(3)当点P在DB的长延长线上时,请将图③补充完整,并判断(1)中的结论是否成立?若成立,直接写出结论;若不成立,请写出相应的结论.
【答案】(1)AP=EF,AP⊥EF,理由见解析;(2)仍成立,理由见解析;(3)仍成立,理由见解析;
【解析】试题分析:(1)正方形中容易证明∠MAO=∠OFE=45°,∠AMO=∠EOF=90°,利用AAS证明△AMO≌△FOE.(2) (3)按照(1)中的证明方法证明△AMP≌△FPE(SAS),结论依然成立.
试题解析:
(1)AP=EF,AP⊥EF,理由如下:
连接AC,则AC必过点O,延长FO交AB于M;
∵OF⊥CD,OE⊥BC,且四边形ABCD是正方形,
∴四边形OECF是正方形,
∴OM=OF=OE=AM,
∵∠MAO=∠OFE=45°,∠AMO=∠EOF=90°,
∴△AMO≌△FOE(AAS),
∴AO=EF,且∠AOM=∠OFE=∠FOC=45°,即OC⊥EF,
故AP=EF,且AP⊥EF.
(2)题(1)的结论仍然成立,理由如下:
延长AP交BC于N,延长FP交AB于M;
∵PM⊥AB,PE⊥BC,∠MBE=90°,且∠MBP=∠EBP=45°,
∴四边形MBEP是正方形,
∴MP=PE,∠AMP=∠FPE=90°;
又∵AB﹣BM=AM,BC﹣BE=EC=PF,且AB=BC,BM=BE,
∴AM=PF,
∴△AMP≌△FPE(SAS),
∴AP=EF,∠APM=∠FPN=∠PEF,
∵∠PEF+∠PFE=90°,∠FPN=∠PEF,
∴∠FPN+∠PFE=90°,即AP⊥EF,
故AP=EF,且AP⊥EF.
(3)题(1)(2)的结论仍然成立;
如右图,延长AB交PF于H,证法与(2)完全相同.
科目:初中数学 来源: 题型:
【题目】“ 六一”儿童节前夕,蕲黄县教育局准备给留守儿童赠送一批学习用品,先对浠泉镇浠泉小学的留守儿童人数进行抽样统计,发现各班留守儿童人数分别为6 名,7 名,8 名,10 名,12 名这五种情形,并将统计结果绘制成了如图所示的两幅不完整的统计图.
请根据上述统计图,解答下列问题:
(1)该校有多少个班级?并补全条形统计图;
(2)该校平均每班有多少名留守儿童?留守儿童人数的众数是多少?
(3)若该镇所有小学共有60 个教学班,请根据样本数据,估计该镇小学生中,共有多少名留守儿童.
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【题目】如图,在直角坐标系中,一次函数的图象与反比例函数的图象交于、两点.
(1)求一次函数的解析式;
(2)连接OA、OB,求△AOB的面积;
(3)当满足________________时, .
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【题目】下列运算:①a2a3=a6,②(a3)2=a6,③a5÷a5=a,④(ab)3=a3b3,其中结果正确的个数为( )
A. 1 B. 2 C. 3 D. 4
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