Question

如图，矩形ABCD的顶点A、B的坐标分别是A（-2，0）、B（0，-4），反比例函数y=的图象经过顶点C，AD边交y轴于点E，若四边形BCDE的面积等于△ABE面积的5倍，则k的值等于________．

Answer 1

-6
分析：首先得出△AEB≌△GBE，再利用四边形BCDE的面积等于△ABE面积的5倍，进而得出AE与BC之间的关系，由△BCF∽△EAO，得出C点坐标，进而求出k的值．
解答：如图，作CF⊥y轴于F，作EG⊥BC于G，
∵∠EGB=∠EAB=∠ABG=90°，
∴四边形ABGE是矩形，
在△AEB和△GBE中，
∵，
∴△AEB≌△GBE（SSS），
∵A、B的坐标分别是A（-2，0）、B（0，-4），
∴AB直线解析式为：y=kx+b，
故将两点代入得出：，
解得：，
故直线AB解析式为：y=-2x-4，
∵AD⊥AB，
∴AD直线的方程为：y=x+b，
再将A（-2，0）代入解析式得：0=×（-2）+b，
解得：b=1，
∴E（0，1）
∵S_{四边形BCDE}=5S_△AEB
∴S_{四边形BCDE}=5S_△GBE
∴S_{四边形CDEG}=4S_△GBE
∴CG=2BG=2AE=2=2，
∴BG=，
∵∠AEO=∠CBF，∠EOA=∠CFB=90°，
∴△BCF∽△EAO，
∴===3
∴BF=3EO=3，CF=3AO=6，
∴OF=OB-BF=4-3=1，
设C的坐标为（x，y）则x=6，y=-1．
故k=xy=6×（-1）=-6．
故答案为：-6．
点评：本题考查了反比例函数的综合运用，通过作辅助线，将图形分割，寻找全等三角形，利用边的关系设双曲线上点的坐标是解题关键．