Question

10．我们把能够平分一个图形面积的直线叫“好线”，如图1，过圆心的直线是这个圆的一条“好线”．

（1）请在图2中画出?ABCD的一条“好线”；
（2）如图3，M是正方形ABCD内一定点，请在图3中作出两条“好线”（要求其中一条“好线”必须过点M），使它们将正方形ABCD的面积四等分．
（3）如图4，矩形ABCD是某博物馆的平面图，E是它的入口处、F是它的出口处，G是它的售票处，且BE=DF．
①连结AE，CF，求证：四边形AECF是平行四边形；
②求证：直线EF是矩形ABCD的“好线”；
③在对角线BD上有一问讯处P，折线F-P-G也恰好将矩形ABCD的面积二等分，请确定问讯处P的位置（画出图形即可，保留作图痕迹）．

Answer 1

分析 （1）过对角线的交点所画的直线就是平行四边形的一条“好线”，证明△AEO≌△CFO，则面积相等，再根据平行四边形的一条对角线将平行四边形分成面积相等的两个三角形可以得出结论；
（2）分两种情况：①如图3，如果点M恰好在对角线上，直接连接对角线即可，且对角线所在的直线就是两条“好线”，②如图4，如果点M不在对角线上，连接对角线后，作直线OM，再作其垂线即可，则OM和它的垂线就是两条“好线”，理由与（1）同理；
（3）①利用两组对边相等的四边形是平行四边形得出结论；
②根据平行四边形一条对角线将平行四边形分成的两个三角形的面积相等和全等三角形的面积相等得出：S_△ABE+S_△AEF=S_△CDF+S_△CEF，则S_{四边形ABEF}=S_{四边形ECDF}，所以直线EF是矩形ABCD的“好线”；
③作平行线，构建同底等高的两个三角形全等，画出问讯处P的位置；
理由是：因为直线EF将矩形ABCD面积平分，只要证明S_△PNF=S_△ENG即可，根据两平行线间的距离相等得
S_△PFG=S_△EFG，再由等式的性质可得结论．

解答 解：（1）如图2，连接AC、BD交于点O，过点O任意画一直线EF，交AD于E，BC于F，则直线EF就是?ABCD的一条“好线”，
理由是：∵四边形ABCD是平行四边形，
∴AO=OC，AD∥BC，
∴∠EAO=∠FCO，∠AEO=∠CFO，
∴△AEO≌△CFO，
∴S_△AEO=S_△CFO，
∵S_△ACD=S_△ABC，
∴S_{四边形ABFE}=S_{四边形FCDE}，
∴直线EF就是?ABCD的一条“好线”，
（2）分两种情况：
①如图3，连接对角线AC和BD，交于点O，点M恰好在对角线AC上，
所以AC和BD就是两条“好线”，
理由是：∵四边形ABCD为正方形，
∴S_△AOB=S_△BOC=S_△COD=S_△AOD，
∴AC和BD就是两条“好线”；
②如图4，连接对角线AC和BD，交于点O，点M不在对角线AC上，作直线OM，交AD、BC于G、H，过O作PQ⊥OM，交AB、CD于P、Q两点，则直线PQ、GH就是所求作的两条“好线”；
理由是：同（1）得：△AOG≌△COH≌△DOQ≌△BOP，
∴S_△AOG=S_△COH=S_△DOQ=S_△BOP，
∴S_△AOD=S_{四边形GOQD}=$\frac{1}{4}$S_{正方形ABCD}，
同理得：S四_边形GOHC=S_{四边形HOPB}=S四_边形GOPA=$\frac{1}{4}$S_{正方形ABCD}，
∴直线PQ、GH就是所求作的两条“好线”；
（3）①如图5，∵四边形ABCD是矩形，
∴AB=CD，∠ABE=∠CDF=90°，AD=BC，
∵BE=DF，
∴△ABE≌△CDF，
∴AE=CF，
∵AD=BC，BE=DF，
∴AD-DF=BC-BE，
即AF=CE，
∴四边形AECF是平行四边形；
②∵四边形AECF是平行四边形，
∴S_△AEF=S_△CEF，
∵△ABE≌△CDF，
∴S_△ABE=S_△CDF，
∴S_△ABE+S_△AEF=S_△CDF+S_△CEF，
∴S_{四边形ABEF}=S_{四边形ECDF}，
∴直线EF是矩形ABCD的“好线”；
③如图6，
作法：i）连接FG，
ii）过E作EM∥FG，交BD于P，
则点P就是所求作的问讯处的位置；
理由是：∵EM∥FG，
∴S_△PFG=S_△EFG，
∴S_△PNF+S_△FNG=S_△ENG+S_△FNG，
∴S_△PNF=S_△ENG，
∵直线EF是矩形ABCD的“好线”，
∴S_{五边形ABGPF}=S_{五边形FPGCD}，
∴折线F-P-G也恰好将矩形ABCD的面积二等分．

点评 本题既是四边形的综合题，也是阅读理解问题，给出一个新的定义，理解并运用；考查了矩形、正方形、平行四边形的性质，以面积等分为主线，将特殊四边形综合在一起，因此熟练掌握特殊四边形的性质是关键，同时还要知道，过平行四边形对角线交点的任意一条直线平分这个平行四边形的面积．