分析 (1)可先证明△ABC≌△DBE,可得DE=AC,又有AC=AF,可得DE=AF,同理可得AD=EF,根据两组对边分别相等的四边形是平行四边形,可证四边形ADEF是平行四边形;
(2)如四边形ADEF是矩形,则∠DAF=90°,又有∠BAD=∠FAC=60°,可得∠BAC=150°,故∠BAC=150°时,四边形ADEF是矩形;
(3)若四边形ADEF是菱形,则AD=AF,所以AB=AC,则△ABC是等腰三角形;
(4)若四边形ADEF是正方形,则AD=AF,且∠DAF=90°,所以△ABC是等腰三角形,且∠BAC=150°.
解答 证明:(1)∵△ABD,△BCE都是等边三角形,
∴∠DBE=∠ABC=60°-∠ABE,AB=BD,BC=BE.
在△ABC与△DBE中,
$\left\{\begin{array}{l}{AB=BD}\\{∠DBE=∠ABC}\\{BC=BE}\end{array}\right.$,
∴△ABC≌△DBE(SAS).
∴DE=AC.
又∵AC=AF,
∴DE=AF.
同理可得EF=AD.
∴四边形ADEF是平行四边形.
(2)∵四边形ADEF是平行四边形,
∴当∠DAF=90°时,四边形ADEF是矩形,
∴∠FAD=90°.
∴∠BAC=360°-∠DAF-∠DAB-∠FAC=360°-90°-60°-60°=150°.
则当∠BAC=150°时,四边形ADEF是矩形;
(3)∵四边形ADEF是平行四边形,
∴当AD=AF时,四边形ADEF是菱形,
又∵AD=AB,AF=AC,
∴AB=AC时,四边形ADEF是菱形;
(4)综合(2)、(3)知,当△ABC是等腰三角形,且∠BAC=150°时,四边形ADEF是正方形.
点评 本题考查了平行四边形的判定,矩形的判定,菱形的判定,等边三角形的性质的应用,本题主要应用的知识点为:两组对边分别相等的四边形是平行四边形,一个角是直角的平行四边形是矩形.
科目:初中数学 来源: 题型:选择题
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