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已知:如图,点E在△ABC的边AC上,且∠AEB=∠ABC.

(1)    求证:∠ABE=∠C;

(2)    若∠BAE的平分线AF交BE于F,FD∥BC交AC于D,设AB=6,AC=10,求DC的长;

(3)    若BE平分∠ABC,AF平分∠BAC,且FD∥BC交AC于点D,连接FC,则△DFC是什么三角形?为什么?


(1)证明:∵ ∠AEB=∠ABC,

           且∠AEB=∠EBC+∠C,∠ABC=∠EBC+∠ABE,

           ∴ ∠EBC+∠C=∠EBC+∠ABE,

           ∴ ∠ABE=∠C;

(2)解:  ∵ ∠BAE的平分线AF交BE于F,

   ∴ ∠BAF=∠DAF,

   ∵ FD∥BC交AC于D,

   ∴ ∠ADF=∠C,

   ∵ ∠ABE=∠C,

   ∴ ∠ADF=∠ABE,即∠ADF=∠ABF,

           ∵ AF=AF,

           ∴ △BAF≌△DAF,

           ∴ AD=AB=6,

           ∴ DC=AC-AD=10-6=4.

(3)解:  △DFC是等腰三角形.理由是:

           过点F分别作FH⊥AB,FN⊥BC,FM⊥AC,

           易证:

△AFH≌△AFM(AAS),从而知FH=FM,

△BFH≌△BFM(AAS),从而知FH=FN,

           ∴FM=FN,又FC=FC,可证Rt△CFM≌Rt△CFN(HL)

           ∴∠MCF=∠NCF,

           ∵FD∥BC,

           ∴∠DFC=∠BCF,

           ∴∠DFC=∠MCF,

           ∴DF=DC,

           ∴△DFC是等腰三角形.

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