【题目】在△ABC中,命题:①若∠B=∠C-∠A,则△ABC是直角三角形.②若a2=(b+c)(b-c),则△ABC是直角三角形.③若∠A∶∠B∶∠C=3∶4∶5,则△ABC是直角三角形.④若a∶b∶c=5∶4∶3.则△ABC是直角三角形. 其中假命题个数为( )
A.1个B.2个C.3个D.4个
【答案】A
【解析】
有一个角是直角的三角形是直角三角形,两边的平方和等于第三边的平方的三角形是直角三角形.
解:①由∠B=∠C-∠A,∴∠B+∠A=∠C,又因为三角形内角和为180°,∴∠C=90°,所以△ABC是直角三角形,故此为真命题.
②若a2=(b+c)(b-c),则可知a2 =b2- c2所以a2+c2=b2,所以△ABC是直角三角形,故此为真命题.
C、若∠A:∠B:∠C=3:4:5,则设∠A=3x°,∠B=4x°,∠C=5x°,根据三角形内角和可得3x°+4x°+5x°=180°,解得x=15°,所以最大的∠C为75°,不是直角三角形,故此为假命题.
D、若a:b:c=5:4:3,设a=5k,b=4k, c=3k,∵,则△ABC是直角三角形,故此为真命题.
∴假命题共1个,
故选:A.
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【题目】小明和小颖上来采取以下规定决定谁将获得仅有一张科普报告入场券:在不透明的布袋里装有除颜色之外均相同的2个红球和1个绿球,小明先取出一个球,记住颜色后放回,然后小颖再取出一个球.若两次取出的球都是红色,则小明获得入场券,否则小颖获得入场券.你认为这个规则对双方公平吗?请用画树状图或列表的方法说明理由.
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【题目】为了更好地保护美丽如画的邛海湿地,西昌市污水处理厂决定先购买A,B两种型号的污水处理设备共20台,对邛海湿地周边污水进行处理.每台A型污水处理设备12万元,每台B型污水处理设备10万元.已知1台A型污水处理设备和2台B型污水处理设备每周可以处理污水640 t,2台A型污水处理设备和3台B型污水处理设备每周可以处理污水1 080 t.
(1)求A,B两种型号的污水处理设备每周每台分别可以处理污水多少吨.
(2)经预算,市污水处理厂购买设备的资金不超过230万元,每周处理污水的量不低于4 500 t,请你列举出所有购买方案,并指出哪种方案所需资金最少,最少是多少.
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【题目】已知△ABC,AB=AC,∠BAC=90°,D为△ABC外部一点,∠BDC=45°,点F在CD上且AF∥DB.
(1)如图①,求证:;
(2)如图②,将△BCD沿BC翻折得到△BCD1,过点B作BG⊥CD1,垂足为G,连接AG交CD于E,交BC于H.若AF=,∠BCD=15°,求AG的长度.
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【题目】知识储备
如图①,点E、F分别是y=3和y=﹣1上的动点,则EF的最小值是 ;
方法储备
直角坐标系的建立,在代数和几何之间架起了一座桥梁,用代数的方法解决几何问题:某数学小组在自主学习时了解了三角形的中位线及相关的定理,在学习了《坐标与位置)后,该小组同学深入思考,利用中点坐标公式,给出了三角形中位线定理的一种证明方法.如图②,在△ABC中,点D,E分别是AB,AC边的中点,DE称为△ABC的中位线,则DE∥BC且DE=BC.该数学小组建立如图③的直角坐标系,设点A(a,b),点C (0,c)(c>0).请你利用该数学学习小组的思路证明DE∥BC且DE=
BC.(提示:中点坐标公式,A(x1,y1),B(x2,y2),则A,B中点坐标为(
,
).
综合应用
结合上述知识和方法解决问题,如图④,在△ABC中,∠ACB=90°,AC=3,BC=6,延长AC至点 D.DE⊥AD,连接EC并延长交AB边于点F.若2CD+DE=6,则EF是否存在最小值,若存在,求出最小值;若不存在,请说明理由.
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【题目】小明和小亮利用三张卡片做游戏,卡片上分别写有A,B,B.这些卡片除字母外完全相同,从中随机摸出一张,记下字母后放回,充分洗匀后,再从中摸出一张,如果两次摸到卡片字母相同则小明胜,否则小亮胜,这个游戏对双方公平吗?请说明现由.
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【题目】已知△ABC是等边三角形,将一块含有30°角的直角三角尺DEF按如图所示放置,让三角尺在BC所在的直线上向右平移.如图①,当点E与点B重合时,点A恰好落在三角尺的斜边DF上.
(1)利用图①证明:EF=2BC.
(2)在三角尺的平移过程中,在图②中线段AH=BE是否始终成立(假定AB,AC与三角尺的斜边的交点分别为G,H)?如果成立,请证明;如果不成立,请说明理由.
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