Question

在平行四边形ABCD中，AB=6，AD=9，∠BAD的平分线交BC于点E，交DC的延长线于点F，BG⊥AE于点G，BG=4

2

，求△EFC的周长．

Answer 1

考点：平行四边形的性质,等腰三角形的判定与性质,勾股定理,相似三角形的判定与性质

专题：

分析：由题意可证△ABE，△ADF，△CEF都是等腰三角形，根据等腰三角形的性质，求出各边的长度，然后利用勾股定理求得AG的长度，继而可得出AE的长度，根据相似三角形的性质求出EF的长度，最后即可求出△EFC的周长．

解答：解：∵四边形ABCD为平行四边形，
∴AB∥CD，AD∥BC，
∴∠BAE=∠AFD，∠DAF=∠AEB，
∵AF为∠BAD的角平分线，
∴∠BAE=∠EAD，
∴∠AFD=∠EAD，∠BAE=∠AEB，∠CEF=∠CFE，
∴△ABE，△ADF，△CEF都是等腰三角形，
又∵AB=6，AD=9，
∴AB=BE=6，AD=DF=9，
∴CE=CF=3．
∵BG⊥AE，BG=4

2

，
由勾股定理可得：AG=

AB2-BG2

=2，
∴AE=4，
∵AB∥CD，
∴△ABE∽△FCE．
∴

CE

BE

=

EF

AE

=

1

2

，
∴EF=2，
∴△EFC的周长=EF+FC+CE=8．

点评：本题考查了平行四边形的性质、等腰三角形的判定与性质以及相似三角形的判定与性质，涉及的知识较多，比较麻烦，注意掌握性质的运用．