Question

如图甲，已知AB是⊙O的直径，直线l与⊙O相切于点B，直线m垂直AB于点C，交⊙O于P、Q两点．连接AP，过O作OD∥AP交l于点D，连接AD与m交于点M．
（1）如图乙，当直线m过点O时，求证：M是PO的中点；
（2）如图甲，当直线m不过点O时，M是否仍为PC的中点？证明你的结论．

Answer 1

证明：（1）连接PD，
∵AB是⊙O的直径，直线l与⊙O相切于点B，直线m垂直AB于点C，
∴∠POA=∠DBA=90°，
∵OD∥AP，
∴∠PAO=∠DOB，
又∵AO=BO，
∴△APO≌△ODB，
∴AP=OD，
∴四边形APDO是平行四边形，
∴M是PO中点；

（2）M仍为PC的中点，理由如下：
∵AP∥OD，
∴∠PAO=∠DOB，又∠PCA=∠DBO=90°，
∴△APC∽△ODB，
∴

PC

BD

=

AC

BO

①，
又易证△ACM∽△ABD，
∴

AC

AB

=

MC

BD

，
∵AB=2OB，
∴

AC

2OB

=

MC

BD

，
∴

AC

OB

=

2MC

BD

②，
由①②得，

PC

BD

=

2MC

BD

，
∴即PC=2MC．
M仍为PC的中点．