Question

已知抛物线y＝－x²＋ax＋b的顶点为D，它与x轴相交于原点两侧的两点A(x₁，0)、B(x₂，0)(x₁＜x₂)，且a、b是关于x的一元二次方程x²－(m＋4)x＋4m＝0的两个实根．

(1)如果|x₁|＋|x₂|＝6，求抛物线的解析式；

(2)如果抛物线与y轴的交点为C，试问是否存在这样的抛物线，使以AD为直径的圆M截y轴所得的弦EF恰以点C为中点？若存在，求出这样的抛物线的解析式；若不存在，请说明理由．

Answer 1

答案：
解析：

解：(1)∵方程x2－(m＋4)x＋4m＝0的两个根为4和m，根据题意，得 　　a＝4，b＝m或a＝m，b＝4． 　　∴A、B位于原点两侧且x1＜x2， 　　∴x1＜0、x2＞0． 　　∵|x1|＋|x2|＝6， 　　∴(x2－x1)2＝36， 　　即(x1＋x2)2－4x1x2＝36． 　　∵x1＋x2＝a， 　　x1x2＝－b， 　　∴a2＋4b＝36． 　　①当a＝4，b＝m时，16＋4b＝36， 　　∴b＝5． 　　此时的抛物线的解析式为 　　y＝－x2＋4x＋5． 　　②当a＝m，b＝4时，有a2＋16＝36， 　　∴a＝±2． 　　此时抛物线的解析式为 　　y＝－x2±2x＋4． 　　(2)如图，作DH、MC⊥x轴，垂足分别为H、C，设C为EF的中点，连结MC，则MC⊥EF，MC＝DH． 　　∵抛物线开口向下，且与x轴有两个不同的交点，∴D、M均在x轴上方． 　　∵a＝4，b＝m或a＝m，b＝4，故有： 　　①抛物线的解析式为y＝－x2＋4x＋m时，其顶点D为(2，m＋4)，与y轴交于C(0，m)，故GM＝(m＋4)＝m，∴m＝4，此时抛物线的解析式为 　　y＝－x2＋4x＋4． 　　②抛物线的解析式为y＝－x2＋mx＋4时，其顶点D为(，)，与y轴的交点为C(0，4)，由＝4得m＝±4，此时抛物线的解析式为 　　y＝－x2±4x＋4． 　　综合①、②知，存在这样的抛物线 　　y＝－x2±4x＋4．

提示：

有关二次曲线和二次方程的问题蕴含很多知识点，有较大的命题空间，所以一直是各地中考命题的热点．在2000年的试卷中，很多省市都是以这类问题为压轴题．这类问题的叙述往往较长，先给出一些总的前提条件，而后一般给出2～3个小问题，其中每个小问题之中，也可能再给出几个针对这个小问题的条件． 　　本题第(1)小问中给出了条件|x1|＋|x2|＝6，即一元二次方程－x2＋ax＋b＝0的两个实数根的关系． 　　利用根与系数关系，及|x1|＋|x2|＝6，易得a与b的关系式a2－4b＝36，而a、b是关于x的一元二次方程x2－(m＋4)x＋4m＝0的两个根，此方程的两个根为4和m，可以分a＝4，b＝m和a＝m，b＝4两种情况求出a、b的值．至此第(1)小问得解． 　　第(2)小问是一道结论探索性问题．这类问题的叙述形式往往为：“若存在，请求出；若不存在，请说明理由．”通常的解法是，按求解题去做，若遇到不可逾越的困难或矛盾，再设法从“不存在”方面去考虑．求解本小题的关键在于通过对图形的分析，得到关系式OC＝DH，由此确定m的值，使问题得到解决．