Question

地面上有不在同一直线上的A、B、C三点，一只青蛙位于地面的P点（如图），第一步青蛙从P点跳到P关于A的对称点P₁，第二步从P₁跳到P₁关于B的对称点P₂，第三步从P₂跳到P₂关于C的对称点
P₃，第四步从P₃跳到P₃关于A的对称点P₄，以下跳法类推．问青蛙跳完第1992步，落在地面的什么位置上？

Answer 1

分析：根据中心对称变换性质和三角形中位线定理可得四边形PP₃P₅P₂是平行四边形，再找到青蛙跳动的规律即可求出青蛙跳完第1992步，落在地面的什么位置上．

解答：解：根据中心对称变换性质和三角形中位线定理，
有PP₂∥AB、PP₂=2AB，P₃P₅∥AB，P₃P₅=2AB，
∴PP₃P₅P₂是平行四边形．又P₂C=CP₃，P₅C=CP₆，
∴P₆与点P重合．这表明青蛙每跳六步，就又回到点P的位置，而1992÷6=332（次），
可见青蛙跳完1992步，仍落在地面上起点P的位置．

点评：本题考查了三角形中位线定理：三角形的中位线平行于第三边，并且等于第三边的一半和中心对称的性质：①关于中心对称的两个图形能够完全重合；②关于中心对称的两个图形，对应点的连线都经过对称中心，并且被对称中心平．这是一道著名的充满趣味的智力题，青蛙每跳一次，就是完成一个中心对称变换．