Question

9．如图，在□ABCD中，E是AD边上的中点，连接BE，并延长BE交CD的延长线于点F，连接BD、AF，BE平分∠ABD，∠ABD=60°．
（1）若BD=3，则DF=3；
（2）求证：四边形ABDF是菱形．
（3）设BD=x，△BDC的面积记为y，求y与x之间的函数关系式．

Answer 1

分析 （1）根据等角对等边，证明DF=BD即可；
（2）首先证明四边形ABDF是平行四边形，根据DF=BD即可证明；
（3）只要证明△BDC是等边三角形即可解决问题；

解答 （1）解：∵四边形ABCD是平行四边形，
∴AB∥CF，
∴∠ABF=∠BFD，
∵BE平分∠ABD，
∴∠ABF=∠DBF，
∴∠BFD=∠DBF，
∴DF=BD=3，
故答案为3．

（2）证明：：∵四边形ABCD为平行四边形，
∴AB∥CD．
∵点F在CD的延长线上，
∴FD∥AB．
∴∠ABE=∠DFE．
∵E是AD中点，
∴AE=DE．
在△ABE和△DFE中，
$\left\{\begin{array}{l}{∠ABE=∠DFE}\\{∠BEA=∠DEF}\\{AE=DE}\end{array}\right.$，
∴△ABE≌△DFE（AAS）；
∴AB=DF．
∵AB∥DF，AB=DF，
∴四边形ABDF是平行四边形．
∵DB=DF．
∴四边形ABDF是菱形．

（3）解：∵四边形ABDF是菱形，
∴AB=BD，∵∠ABD=60°，
∴△ABD是等边三角形，
∵四边形ABCD是平行四边形，
∴BC=AD=AB=CD=BD，
∴△BDC是等边三角形，
∴y=$\frac{\sqrt{3}}{4}$x²．

点评 本题考查平行四边形的性质、全等三角形的判定和性质、菱形的判定和性质、三角形的面积等知识，解题的关键是灵活运用所学知识解决问题，属于中考常考题型．