Question

8．如图①，将矩形ABCD沿DE折叠，使顶点A落在DC上的点A′处，然后将矩形展平，沿EF折叠，使顶点A落在折痕DE上的点G处，再将矩形ABCD沿CE折叠，此时顶点B恰好落在DE上的点H处，如图②．

（1）求证：EG=CH；
（2）已知AF=2，求AD和AB的长．

Answer 1

分析 （1）由折叠的性质及矩形的性质可知AE=AD=EG，BC=CH，再根据四边形ABCD是矩形，证明△GEF≌△HEC可得EG=CH；
（2）由折叠的性质可知四边形AEA'D是正方形，则DF即可求得，根据AB=AE+BE求解．

解答 解：（1）证明：由折叠可得：AE=A'E=BC=CH=GE，∠A=∠FGE=∠B=∠CHE=90°，∠AEF=∠GEF，∠BEC=∠HEC，
∴∠GEF+∠HEC=90°，∠GEF+∠GFE=90°，
∴∠GEF=∠HCE，
∴在△GEF和△HEC中，$\left\{\begin{array}{l}{∠GEF=∠HCE}\\{GE=CH}\\{∠FGE=∠CHE}\end{array}\right.$，
∴△GEF≌△HEC，
∴EG=CH；
（2）∵四边形AEA'D是正方形，
∴∠ADE=45°，AD=AE，
又∵AF=2，
∴FG=DG=2，DF=2$\sqrt{2}$，
∴AD=2+2$\sqrt{2}$，AB=2$\sqrt{2}$+4．

点评 本题考查了折叠的性质：折叠是一种对称变换，它属于轴对称，折叠前后图形的形状和大小不变，位置变化，对应边和对应角相等．也考查了全等三角形的判定与性质，矩形的性质，勾股定理等知识．