Question

8．已知：如图，正方形ABCD中，把△ABD绕点A旋转得到△AEF，EF、BD相交于点G，连接AG并延长交BC于N，延长AF交CD于点P，若NC=2，AP=5，则AG的长为$\frac{4\sqrt{3}}{3}$．

Answer 1

分析 连接BE，BF，PN，根据旋转的性质得到BE=DF，BD=EF，根据全等三角形的性质得到∠DBF=∠EFB，则BG=FG，推出△ABG≌△AFG，根据全等三角形的性质得到∠BAG=∠FAG，证得△ABN≌△AFN，得到∠AFN=∠ABN=90°，设正方形ABCD的边长为a，根据勾股定理得到DP=$\sqrt{2{5}^{2}-{a}^{2}}$，PC=a-$\sqrt{25-{a}^{2}}$，根据勾股定理列方程得到NF²+FP²=NC²+PC²，求得a=4，a=3（不合题意，舍去），于是得到AN=$\sqrt{A{B}^{2}-B{N}^{2}}$=2$\sqrt{3}$，根据相似三角形的性质得到$\frac{GN}{AG}=\frac{AN-AG}{AG}=\frac{BN}{AD}$，代入数据即可得到结论．

解答 解：连接BE，BF，PN，把△ABD绕点A旋转得到△AEF，
∴BE=DF，BD=EF，
在△BEF与△BDF中，
$\left\{\begin{array}{l}{BE=DF}\\{EF=BD}\\{BF=BF}\end{array}\right.$，
∴△BEF≌△BDF，
∴∠DBF=∠EFB，
∴BG=FG，
在△ABG与△AFG中，
$\left\{\begin{array}{l}{AB=AF}\\{AG=AG}\\{BG=FG}\end{array}\right.$，
∴△ABG≌△AFG，
∴∠BAG=∠FAG，
在△ABN与△AFN中，
$\left\{\begin{array}{l}{AB=AF}\\{∠BAN=∠FAN}\\{AN=AN}\end{array}\right.$，
∴△ABN≌△AFN，
∴∠AFN=∠ABN=90°，
设正方形ABCD的边长为a，
∴DP=$\sqrt{2{5}^{2}-{a}^{2}}$，PC=a-$\sqrt{25-{a}^{2}}$，
∴BN=FN=a-2，PF=5-a，
∵NF²+FP²=NC²+PC²，
∴a²-7a+12=0，
∴a=4，a=3（不合题意，舍去），
∴AN=$\sqrt{A{B}^{2}-B{N}^{2}}$=2$\sqrt{3}$，
∵△ABN∽△BNG，
∴$\frac{GN}{AG}=\frac{AN-AG}{AG}=\frac{BN}{AD}$，
∴$\frac{2\sqrt{3}-AG}{AG}=\frac{2}{4}$，
∴AG=$\frac{4\sqrt{3}}{3}$．
故答案为：$\frac{4\sqrt{3}}{3}$．

点评 本题考查了旋转的性质，全等三角形的判定和性质，正方形的性质，勾股定理，熟练掌握全等三角形的判定和性质是解题的关键．