Question

为了落实国家的惠农政策，某地政府制定了农户投资购买收割机的补贴办法，其中购买Ⅰ、Ⅱ型收割机所投资的金额与政府补贴的额度存在下表所示的函数对应关系：

	Ⅰ型收割机		Ⅱ型收割机
投资金额x（万元）	x	5	x	2	4
补贴金额x（万元）	y1=kx	2	y2=ax2+bx	2.4	3.2

（1）分别求出y₁和y₂的函数解析式；
（2）旺叔准备投资10万元购买Ⅰ、Ⅱ两型收割机．请你设计一个能获得最大补贴金额的方案，并求出按此方案能获得的补贴金额．

Answer 1

解：（1）设购买Ⅰ型收割机补贴的金额的解析式为：y1=kx，购买Ⅱ型收割机补贴的金额的解析式为y₂=ax²+bx，由题意，得
2=5k，或，解得
k=，
，
∴y₁的解析式为：y₁=x，y₂的函数解析式为：y₂=-x²+1.6x．

（2）设总补贴金额为W万元，购买Ⅰ型收割机a万元，则购买Ⅱ型收割机（10-a）万元，由题意，得
W=a+[-（10-a）²+1.6（10-a）]，
=-（a-7）²+．
∴当a=7时，W有最大值万元，
∴买Ⅰ型收割机7万元、Ⅱ两型收割机3万元可以获得最大补贴万元．
分析：（1）利用待定系数法直接就可以求出y₁与y₂的解析式．
（2）设总补贴金额为W万元，购买Ⅰ型收割机a万元，购买Ⅱ型收割机（10-a）万元，建立等式就可以求出其值．
点评：本题考查了待定系数法求函数的解析式的运用，抛物线的顶点式的运用．在求解析式中，待定系数法时常用的方法．二次函数的一般式化顶点式是求最值的常用方法．