Question

已知：△ABC，射线BE、CF分别平分∠ABC和∠ACB，且BE、CF相交于点O．
（1）求证：∠BOC=90°+

1

2

∠A；
（2）若将条件“CF平分∠ACB”改为“CF平分与∠ACB相邻的外角”，其它条件不变．试问（1）中的结论是否仍成立？若成立说明理由；若不成立，请找出∠BOC与∠A的关系并予证明．

Answer 1

分析：（1）根据三角形的内角和定理以及角平分线的定义进行证明；
（2）根据三角形的外角的性质以及角平分线的定义进行证明．

解答：（1）证明：∵∠A+∠ABC+∠ACB=180°，
∴∠ABC+∠ACB=180°-∠A．
∵BE平分∠ABC，CF平分∠ACB，
∴∠OBC=

1

2

∠ABC，∠OCB=

1

2

∠ACB．
∴∠OBC+∠OCB=90°-

1

2

∠A．
∴∠BOC=180°-（∠OBC+∠OCB）=90°+

1

2

∠A．

（2）解：（1）中的结论不成立．
∠B0C=

1

2

∠A．
证明：∵∠ACD是△ABC的外角，
∠ACD=∠ABC+∠A，
∵BE平分∠ABC，CF平分∠ACD，
∴∠EBD=

1

2

∠ABC，∠FCD=

1

2

∠ACD．
∴∠FCD=∠EBD+

1

2

∠A．
∴∠FCD=∠EBD+∠BOC．
∴∠BOC=

1

2

∠A．

点评：解答此题的关键是画图，并熟练运用角平分线的性质、三角形的内角和定理及其推论进行证明探索，要熟记这些结论，便于简便计算．