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    6．如图，已知抛物线y=ax2-$\frac{3}{2}$x+c与x轴相交于A、B两点，并与直线y=x-2交于B、C两点，其中点C是直线y=$\frac{1}{2}$x-2与y轴的交点，连接AC．
    （1）求B、C两点坐标以及抛物线的解析式；
    （2）证明：△ABC为直角三角形；
    （3）△ABC内部能否截出面积最大的矩形DEFG？（顶点D、E、F、G在△ABC各边上）若能，求出最大面积；若不能，请说明理由．

    分析 （1）利用待定系数法把问题转化为方程组即可解决问题．
    （2）根据勾股定理的逆定理即可判断．
    （3）分两种情形求出矩形的面积的最大值①如图2中，当四边形EFGC是矩形时，此时△AGF∽△ACB∽△FEB．②如图3，当四边形EFGD是矩形时，此时△CDE∽△CAB∽△GAD，分别构建二次函数，利用二次函数的性质即可解决问题．

    解答 （1）解：∵直线y=$\frac{1}{2}$x-2交x轴、y轴于B、C两点，
    ∴B（4，0），C（0，-2），
    ∵y=ax2-$\frac{3}{2}$x+c过B、C两点，
    ∴$\left\{\begin{array}{l}{16a-6+c=0}\\{c=-2}\end{array}\right.$，
    解得 $\left\{\begin{array}{l}{a=\frac{1}{2}}\\{c=-2}\end{array}\right.$，
    ∴y=$\frac{1}{2}$x2-$\frac{3}{2}$x-2．                

    （2）证明：如图1，连接AC，

    ∵y=$\frac{1}{2}$x2-$\frac{3}{2}$x-2与x负半轴交于A点，
    ∴A（-1，0），
    在Rt△AOC中，
    ∵AO=1，OC=2，
    ∴AC=$\sqrt{5}$，
    在Rt△BOC中，
    ∵BO=4，OC=2，
    ∴BC=2$\sqrt{5}$，
    ∵AB=AO+BO=1+4=5，
    ∴AB2=AC2+BC2，
    ∴△ABC为直角三角形．              

    （3）解：△ABC内部可截出面积最大的矩形DEFG，面积为，理由如下：
    ①如图2中，当四边形EFGC是矩形时，此时△AGF∽△ACB∽△FEB．

    设GC=x，AG=$\sqrt{5}$-x，
    ∵$\frac{AG}{AC}$=$\frac{FG}{CB}$，
    ∴$\frac{\sqrt{5}-x}{\sqrt{5}}$=$\frac{FG}{2\sqrt{5}}$，
    ∴GF=2$\sqrt{5}$-2x，
    ∴S=GC•GF=x•（2$\sqrt{5}$-2x）=-2x2+2$\sqrt{5}$x=-2（x-$\frac{\sqrt{5}}{2}$）2+$\frac{5}{2}$
    即当x=$\frac{\sqrt{5}}{2}$时，S最大，为$\frac{5}{2}$．
    ②如图3，当四边形EFGD是矩形时，此时△CDE∽△CAB∽△GAD，

    设GD=x，
    ∵$\frac{AD}{AB}$=$\frac{GD}{CB}$，
    ∴$\frac{AD}{5}$=$\frac{x}{2\sqrt{5}}$，
    ∴AD=$\frac{\sqrt{5}}{2}$x，
    ∴CD=CA-AD=$\sqrt{5}$-$\frac{\sqrt{5}}{2}$x，
    ∵$\frac{CD}{AC}$=$\frac{DE}{AB}$，
    ∴$\frac{\sqrt{5}-\frac{\sqrt{5}}{2}x}{\sqrt{5}}$=$\frac{DE}{5}$，
    ∴DE=5-$\frac{5}{2}$x，
    ∴S=GD•DE=x•（5-$\frac{5}{2}$x）=-$\frac{5}{2}$x2+5x=-$\frac{5}{2}$（x-1）2+$\frac{5}{2}$，
    即x=1时，S最大，为$\frac{5}{2}$．
    综上所述，△ABC内部可截出面积最大的矩形DEFG，面积为$\frac{5}{2}$．

    点评 本题考查二次函数的综合题、勾股定理的逆定理、矩形的判定和性质等知识，解题的关键是学会用分类讨论的思想思考问题，学会构建二次函数解决最值问题，属于中考压轴题．

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