Question

【题目】在直角坐标系中，我们将圆心坐标和半径均为整数的圆称为“整圆”．如图所示，直线l：y＝kx+4与x轴、y轴分别交于A、B，∠OAB＝30°，点P在x轴上，⊙P与l相切，当P在线段OA上运动时，使得⊙P成为“整圆”的点P个数是_____个．

Answer 1

【答案】6．

【解析】

根据直线的解析式求得OB＝4，进而求得OA＝12，根据切线的性质求得PM⊥AB，根据∠OAB＝30°，求得PM＝PA，然后根据“整圆”的定义，即可求得使得⊙P成为整圆的点P的坐标，从而求得点P个数．

∵直线l：y＝kx+4与x轴、y轴分别交于A、B，

∴B(0，4)，

∴OB＝4，

在Rt△AOB中，∠OAB＝30°，

∴OA＝OB＝×4＝12，

∵⊙P与l相切，设切点为M，连接PM，则PM⊥AB，

∴PM＝PA，

设P(x，0)，

∴PA＝12﹣x，

∴⊙P的半径PM＝PA＝6﹣x，

∵x为整数，PM为整数，

∴x可以取0，2，4，6，8，10，6个数，

∴使得⊙P成为整圆的点P个数是6．

故答案是：6．