Question

17．如图，过点C（0，2）的抛物线与直线AD交于A（-1，0），D（3，2）两点．
（1）求直线AD和抛物线的解析式；
（2）点M为抛物线对称轴上一点，求MA+MC最小时点M的坐标；
（3）在y轴上是否存在点P使△PAD是直角三形？若存在，求出点P坐标；若不存在，说明理由．

Answer 1

分析 （1）设出一次函数、二次函数解析式分别为y=kx+b，y=ax²+bx+c，将函数图象上的点代入，即可求函数解析式；
（2）连接BC，与对称轴交于M，此时MA+MC最小．求出BC解析式，将M点横坐标代入即可求出其纵坐标；
（3）分四种情况讨论：①当∠AP₁D=90°时，△DCP₁∽△P₁OA；②∠AP₂D=90°时，△AOP₂∽△P₂CD；③设AP₃解析式为y=-2x+s，将A（-1，0）分别代入解析式，求出s的值；④设AP₄解析式为y=-2x+t，将A（3，2）分别代入解析式得，t=8．

解答 解：（1）设AD的解析式为y=kx+b，
将A（-1，0），D（3，2）分别代入解析式得，
$\left\{\begin{array}{l}-k+b=0\\ 3k+b=2\end{array}\right.$，
解得$\left\{\begin{array}{l}k=\frac{1}{2}\\ b=\frac{1}{2}\end{array}\right.$，
∴AD的解析式为y=$\frac{1}{2}$x+$\frac{1}{2}$．
设抛物线的解析式为y=ax²+bx+c，
将A（-1，0），C（0，2），D（3，2）分别代入解析式得$\left\{\begin{array}{l}a-b+c=0\\ c=2\\ 9a+3b+c=2\end{array}\right.$，
解得，$\left\{\begin{array}{l}a=-\frac{1}{2}\\ b=\frac{3}{2}\\ c=2\end{array}\right.$，
函数解析式为y=-$\frac{1}{2}$x²+$\frac{3}{2}$x+2．
（2）如图1，连接BC，与对称轴交于M，此时MA+MC最小．
设BC解析式为y=ax+b，
把B（4，0），C（0，2）代入解析式得，$\left\{\begin{array}{l}4a+b=0\\ b=2\end{array}\right.$，
解得$\left\{\begin{array}{l}a=-\frac{1}{2}\\ b=2\end{array}\right.$，
则y=-$\frac{1}{2}$x+2，当x=-$\frac{\frac{3}{2}}{2×（-\frac{1}{2}）}$=$\frac{3}{2}$时，y=-$\frac{1}{2}$×$\frac{3}{2}$+2=$\frac{5}{4}$，
∴M（$\frac{3}{2}$，$\frac{5}{4}$）．
（3）①当∠AP₁D=90°时，△DCP₁∽△P₁OA，
∴$\frac{DC}{{P}_{1}O}$=$\frac{{P}_{1}C}{AO}$，
即$\frac{3}{{P}_{1}C+2}$=$\frac{{P}_{1}C}{1}$，
∴P₁C²+2P₁C=3，
解得，P₁C=1，P₁C=-3（舍去）．
∴P₁O=3，
∴P₁（0，3）．
②∠AP₂D=90°时，△AOP₂∽△P₂CD，
∴$\frac{AO}{{P}_{2}C}$=$\frac{{P}_{2}O}{CD}$，
即$\frac{1}{{P}_{2}O+2}$=$\frac{{P}_{2}O}{3}$，
∴P₂O²+2P₂O=3，
解得，P₂O=1，P₂O=-3（舍去）．
∴P₂O=3，
∴P₂（0，-3）．
③如图3，
∵AP₃⊥AD，DP₄⊥AD，
且AD解析式为y=$\frac{1}{2}$x+$\frac{1}{2}$，
设AP₃解析式为y=-2x+s，将A（-1，0）分别代入解析式得，s=-2，解析式为y=-2x-2，
当x=0时，y=-2，
则得P₃（0，-2），
④设AP₄解析式为y=-2x+t，将A（3，2）分别代入解析式得，t=8，解析式为y=-2x+8，
当x=0时，y=8，
则得P₄（0，8）．

点评 本题考查了二次函数综合题，涉及待定系数法求二次函数解析式和一次函数解析式、轴对称最短路径问题、存在性问题和相似三角形的判定与性质，难度较大．