Question

如图，已知抛物线，直线y₂=3x+3，当x任取一值时，x对应的函数值分别为y₁，y₂．若y₁≠y₂，取y₁，y₂中的较小值记为M；若y₁=y₂，记M=y₁=y₂．下列判断：
①当x＞0时，y₁＞y₂；②使得M大于3的x值不存在；③当x＜0时，x值越大，M值越小； ④使得M=1的x值是或．
其中正确的是

1. A.
   ①③
2. B.
   ②④
3. C.
   ①④
4. D.
   ②③

Answer 1

B
分析：若y₁=y₂，记M=y₁=y₂．首先求得抛物线与直线的交点坐标，利用图象可得当x＜-1时，利用函数图象可以得出y₂＞y₁；当-1＜x＜0时，y₁＞y₂；当x＞0时，利用函数图象可以得出y₂＞y₁；然后根据当x任取一值时，x对应的函数值分别为y₁、y₂．若y₁≠y₂，取y₁、y₂中的较小值记为M；即可求得答案．
解答：∵当y₁=y₂时，即-3x²+3=3x+3时，
解得：x=0或x=-1，
∴当x＜-1时，利用函数图象可以得出y₂＞y₁；当-1＜x＜0时，y₁＞y₂；当x＞0时，利用函数图象可以得出y₂＞y₁；
∴①错误；
∵抛物线y₁=-3x²+3，直线y₂=3x+3，与y轴交点坐标为：（0，3），当x=0时，M=3，抛物线y₁=-3x²+3，最大值为3，故M大于3的x值不存在；
∴使得M大于3的x值不存在，
∴②正确；
∵抛物线y₁=-3x²+3，直线y₂=3x+3，当x任取一值时，x对应的函数值分别为y₁、y₂．若y₁≠y₂，取y₁、y₂中的较小值记为M；
∴当x＜0时，根据函数图象可以得出x值越大，M值越大；
∴③错误；
∵如图：当-1＜x＜0时，y₁＞y₂；
∴使得M=1时，y₂=3x+3=1，解得：x=-；
当x＞0时，y₂＞y₁，
使得M=1时，即y₁=-3x²+3=1，解得：x₁=，x₂=-（舍去），
∴使得M=1的x值是或．
∴④正确；
故选B．
点评：本题主要考查了二次函数与一次函数综合应用．注意掌握函数增减性是解题关键，注意数形结合思想与方程思想的应用．