Question

11．如果直线l：y=kx+b与曲线（包括折线、弧线、双曲线、抛物线等）有两个不同的交点我们把这两点间的线段的长度叫直线l与曲线的“非凡距离”
（1）已知直线l：y=x+4与坐标轴相交于点A、B，坐标系原点为O，求直线l与折线AOB的非凡距离；
（2）若直线l：y=2x+b与双曲线y=-$\frac{1}{x}$的非凡距离为$\sqrt{5}$，求b的值；
（3）已知直线l：y=x-2与抛物线y=-x²+mx-1交于点P，Q，若抛物线与y轴相交于N点，⊙M恰好经过P、Q，当直线l与抛物线的非凡距离取最小值时，求点N到⊙M的圆心M的距离的最小值．

Answer 1

分析 （1）利用勾股定理求出AB的长即可解决问题．
（2）如图1中，设y=2x+b与双曲线y=-$\frac{1}{x}$的交点为A、B．作BC⊥x轴于C，AE⊥BC于E．由AB=$\sqrt{5}$，则AE=1，BE=2，设A（m，-$\frac{1}{m}$），则B（m+1，-$\frac{1}{m}$+2），可得（m+1）（-$\frac{1}{m}$+2）=-1，解得m=$\frac{-1±\sqrt{5}}{2}$，推出A（$\frac{-1-\sqrt{5}}{2}$，$\frac{\sqrt{5}-1}{2}$）或（$\frac{-1+\sqrt{5}}{2}$，$\frac{-1-\sqrt{5}}{2}$），再利用待定系数法即可解决问题．
（3）如图2中，设P（x₁，y₁），Q（x₂，y₂），由$\left\{\begin{array}{l}{y=x-2}\\{y=-{x}^{2}+mx-1}\end{array}\right.$消去y得到，x²+（m-1）x-1=0，可得x₁+x₂=1-m，x₁x₂=-1，y₁=x₁-2，y₂=x₂-2，推出y₁+y₂=m-5，y₁y₂=5-2m，
求出PQ，利用二次函数的性质，推出m=1时，非凡距离PQ的值最小，求出点P、Q的坐标，即可解决问题．

解答 解：（1）对于直线y=x+4，令x=0得y=4，令y=0得x=-4，
不妨设A（0，4），B（-4，0），
∴OA=OB=4，
∴直线l与折线AOB的非凡距离=AB=$\sqrt{{4}^{2}+{4}^{2}}$=4$\sqrt{2}$．

（2）如图1中，设y=2x+b与双曲线y=-$\frac{1}{x}$的交点为A、B．作BC⊥x轴于C，AE⊥BC于E．

∵AB=$\sqrt{5}$，则AE=1，BE=2，设A（m，-$\frac{1}{m}$），则B（m+1，-$\frac{1}{m}$+2），
∴（m+1）（-$\frac{1}{m}$+2）=-1，
解得m=$\frac{-1±\sqrt{5}}{2}$，
∴A（$\frac{-1-\sqrt{5}}{2}$，$\frac{\sqrt{5}-1}{2}$）或（$\frac{-1+\sqrt{5}}{2}$，$\frac{-1-\sqrt{5}}{2}$），
把点A坐标代入y=2x+b中，可得b=$\frac{3\sqrt{5}+1}{2}$或$\frac{1-3\sqrt{5}}{2}$．

（3）如图2中，设P（x₁，y₁），Q（x₂，y₂），

由$\left\{\begin{array}{l}{y=x-2}\\{y=-{x}^{2}+mx-1}\end{array}\right.$消去y得到，x²+（m-1）x-1=0，
∴x₁+x₂=1-m，x₁x₂=-1，y₁=x₁-2，y₂=x₂-2，
∴y₁+y₂=m-5，y₁y₂=5-2m，
∴PQ=$\sqrt{（{x}_{1}-{x}_{2}）^{2}+（{y}_{1}-{y}_{2}）^{2}}$=$\sqrt{（{x}_{1}+{x}_{2}）^{2}-4{x}_{1}{x}_{2}+（{y}_{1}+{y}_{2}）^{2}-4{y}_{1}{y}_{2}}$=$\sqrt{（1-m）^{2}+4+（m-5）^{2}-4（5-2m）}$=$\sqrt{2（m-1）^{2}+8}$，
∵2＞0，
∴m=1时，非凡距离PQ的值最小，
由$\left\{\begin{array}{l}{y=x-2}\\{y=-{x}^{2}+x-1}\end{array}\right.$解得$\left\{\begin{array}{l}{x=1}\\{y=-1}\end{array}\right.$或$\left\{\begin{array}{l}{x=-1}\\{y=-3}\end{array}\right.$，
不妨设P（-1，-3），Q（1，-1），设线段PQ与y轴的解得为C，则C（0，-2），
∴PC=CQ=$\sqrt{2}$，
∵⊙M经过P、Q两点，
∴点M在线段PQ的中垂线EC上，作NE⊥CE于E，
∵OC=OB=2，
∴∠OCB=∠ECN=45°，
∵N（0，-1），
∴ON=1，CN=1，
在Rt△NEC中，NE=CN•cos45°=$\frac{\sqrt{2}}{2}$，
∴点N到⊙M的圆心M的距离的最小值为$\frac{\sqrt{2}}{2}$．

点评 本题考查二次函数综合题、一次函数的应用、反比例函数的应用、一元二次方程的根与系数关系等知识，解题的关键是理解题意，学会利用参数解决问题，用转化的思想思考问题，学会构建二次函数解决最值问题，属于中考压轴题．