Question

已知：如图，D为线段AB上一点（不与点A、B重合），CD⊥AB，且CD=AB，AE⊥AB，BF⊥AB，且AE=BD，BF=AD．
（1）如图1，当点D恰是AB的中点时，请你猜想并证明∠ACE与∠BCF的数量关系；
（2）如图2，当点D不是AB的中点时，你在（1）中所得的结论是否发生变化，写出你的猜想并证明；
（3）若∠ACB=α，直接写出∠ECF的度数（用含α的式子表示）．

Answer 1

（1）猜想：∠ACE=∠BCF．
证明：∵D是AB中点，
∴AD=BD，
又∵AE=BD，BF=AD，
∴AE=BF．
∵CD⊥AB，AD=BD，
∴CA=CB．
∴∠1=∠2．
∵AE⊥AB，BF⊥AB，
∴∠3=∠4=90°．
∴∠1+∠3=∠2+∠4．
即∠CAE=∠CBF．
∴△CAE≌△CBF．
∴∠ACE=∠BCF．…

（2）∠ACE=∠BCF仍然成立．
证明：连接BE、AF．
∵CD⊥AB，AE⊥AB，
∴∠CDB=∠BAE=90°．
又∵BD=AE，CD=AB，
△CDB≌△BAE．…
∴CB=BE，∠BCD=∠EBA．
在Rt△CDB中，∵∠CDB=90°，
∴∠BCD+∠CBD=90°．
∴∠EBA+∠CBD=90°．
即∠CBE=90°．
∴△BCE是等腰直角三角形．
∴∠BCE=45°． …
同理可证：△ACF是等腰直角三角形．
∴∠ACF=45°． …
∴∠ACF=∠BCE．
∴∠ACF-∠ECF=∠BCE-∠ECF．
即∠ACE=∠BCF．…

（3）∠ECF的度数为90°-α．…
分析：（1）D恰是AB的中点时，则AD是AB的中垂线，则CA=CB，易证∠CAE=∠CBF，则易证△CAE≌△CBF，得到∠ACE=∠BCF；
（2）连接BE、AF，则易证△CDB≌△BAE，则△BCE和△ACF都是等腰直角三角形，则∠ACF=∠ECB=45°，即可证得：∠ACE=∠BCF；
（3）根据∠ACF=∠ECB=45°，再依据∠ECF=∠ACF-∠ACE=∠ACF-（∠ACB-∠BCE）即可求解．
点评：本题考查了三角形全等的判定，正确证明△BCE和△ACF都是等腰直角三角形是关键．