Question

课本中有一道作业题：

有一块三角形余料ABC，它的边BC=120mm，高AD=80mm．要把它加工成正方形零件，使正方形的一边在BC上，其余两个顶点分别在AB，AC上．问加工成的正方形零件的边长是多少mm？

小颖解得此题的答案为48mm，小颖善于反思，她又提出了如下的问题．

（1）如果原题中要加工的零件是一个矩形，且此矩形是由两个并排放置的正方形所组成，如图1，此时，这个矩形零件的两条边长又分别为多少mm？请你计算．

（2）如果原题中所要加工的零件只是一个矩形，如图2，这样，此矩形零件的两条边长就不能确定，但这个矩形面积有最大值，求达到这个最大值时矩形零件的两条边长．

Answer 1

解：（1）设矩形的边长PN=2ymm，则PQ=ymm，由条件可得△APN∽△ABC，

∴=，

即=，

解得y=，

∴PN=×2=（mm），

答：这个矩形零件的两条边长分别为mm，mm；

（2）设PN=xmm，由条件可得△APN∽△ABC，

∴=，

即=，

解得PQ=80﹣x．

∴S=PN•PQ=x（80﹣x）=﹣x²+80x=﹣（x﹣60）²+2400，

∴S的最大值为2400mm²，此时PN=60mm，PQ=80﹣×60=40（mm）．