Question

如图，以扇形OAB的顶点O为原点，半径OB所在的直线为x轴，建立平面直角坐标系，点B的坐标为（2，0），扇形的圆心角是60°，若抛物线y=x²+k与扇形OAB的边界总有两个公共点，则实数取值范围是

 

．

Answer 1

考点：二次函数综合题

专题：

分析：根据∠AOB=60°求出直线OA的解析式，然后与抛物线解析式联立求出有一个公共点时的k值，即为一个交点时的最大值，再求出抛物线经过点B时的k的值，即为一个交点时的最小值，然后写出k的取值范围即可．

解答：解：由图可知，∠AOB=60°，
∴直线OA的解析式为y=

3

x，
联立

y= 3 x y=x2+k

，
消掉y得，
x²-

3

x+k=0，
△=（-

3

）²-4×1×k=0，
即k=

3

4

时，抛物线与OA有一个交点，
解得：x=

3

2

，
即交点的横坐标为

3

2

，
∵点B的坐标为（2，0），
∴OA=2，
∴点A的坐标为（1，

3

），
∵

3

2

＜1，
∴交点在线段AO上；
当抛物线经过点B（2，0）时，4+k=0，
解得k=-4，
∴要使抛物线y=x²+k与扇形OAB的边界总有两个公共点，实数k的取值范围是：-4＜k＜

3

4

．
故答案为：-4＜k＜

3

4

．

点评：本题考查了二次函数的性质，主要利用了联立两函数解析式确定交点个数的方法，根据图形求出有一个交点时的最大值与最小值是解题的关键．