Question

已知E是边长为7的正方形ABCD对角线BD上一点，过点E的直线MN平行于DC，交AD于M，交BC于N，EF⊥AE于E，交CB于F，MD=3．
（1）求证：△AME≌△ENF；
（2）求AF的长；
（3）求tan∠BEF的值．

Answer 1

分析：（1）根据正方形的性质对角线平分一组对角可得∠ADB=45°，然后求出△MDE是等腰直角三角形，再求出ME=MD=3，然后求出AM=EN=4，然后根据同角的余角相等求出∠2=∠3，再利用“角边角”证明△AME和△ENF全等即可；
（2）根据全等三角形对应边相等可得NF=ME，然后求出BF，再利用勾股定理列式计算即可得解；
（3）过点F作FG⊥BD于G，根据等腰直角三角形的性质求出BE，BG=GF，然后求出EG，再根据锐角的正切值等于对边比邻边列式计算即可得解．

解答：（1）证明：∵BD是正方形ABCD的对角线，
∴∠ADB=45°，
∴△MDE是等腰直角三角形，
∴ME=MD=3，
∴AM=EN=7-3=4，
∵EF⊥AE，
∴∠1+∠2=180°-90°=90°，
∵MN∥DC，
∴∠AME=∠ADC=90°，
∴∠1+∠3=90°，
∴∠2=∠3，
在△AME和△ENF中，

∠2=∠3 AM=EN ∠AME=∠ENF=90°

，
∴△AME≌△ENF（ASA）；

（2）解：∵△AME≌△ENF，
∴NF=ME，
∴BF=BN-FN=EN-FN=4-3=1，
在Rt△ABF中，AF=

AB2+BF2

=

72+12

=5

2

；

（3）解：如图，过点F作FG⊥BD于G，
则BE=

2

EN=4

2

，
BG=GF=

2

2

BF=

2

2

，
所以，EG=BE-BG=4

2

-

2

2

=

7 2

2

，
tan∠BEF=

GF

EG

=

2 2

7 2 2

=

1

7

．

点评：本题考查了正方形的性质，全等三角形的判定与性质，勾股定理的应用，等腰直角三角形的性质，锐角三角形函数，熟练掌握正方形的性质并作辅助线构造出∠BEF所在的直角三角形是解题的关键．