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    5．综合与实践：
    折纸中的数学
    动手操作：
    如图，将矩形ABCD折叠，点B落在AD边上的点B′处，折痕为GH，再将矩形ABCD折叠，点D落在B′H的延长线上，对应点为D′，折痕为B′E，延长GH于点F，O为GE的中点．
    数学思考：
    （1）猜想：线段OB′与OD′的数量关系是OB′=OD′（不要求说理或证明）．
    （2）求证：四边形GFEB′为平行四边形；
    拓展探究：
     如图2，将矩形ABCD折叠，点B对应点B′，点D对应点为D′，折痕分别为GH、EF，∠BHG=∠DEF，延长FD′交B′H于点P，O为GF的中点，试猜想B′O与OP的数量关系，并说明理由．

    分析 （1）作辅助线构建平行四边形和直角三角形，先证明平行四边形，再利用直角三角形斜边中线得OB′=OD′；
    （2）利用折叠的性质得∠GHB′=∠EB′H，得GF∥B′E，再利用折叠和矩形的直角得∠GB′H=∠B′D′E=90°，得GB′∥EF，则四边形GFEB′为平行四边形；
    （3）作辅助线构建平行，证角相等得△GB′O≌△FNO，再利用直角三角形斜边中线等于斜边一半可得结论

    解答 解：（1）如图1，OB′=OD′，理由是：
    连接OF，
    由折叠得：∠GB′H=∠B=90°，∠B′D′E=∠D=90°，
    ∴∠GB′H=∠B′D′E，
    ∴GB′∥EF，
    同理得B′E∥GF，
    ∴四边形GFEB′是平行四边形，
    ∴OB′=OF，
    则B′、O、F共线，
    在Rt△B′D′F中，OD′=$\frac{1}{2}$B′F=OB′，
    即OB′=OD′；
    （2）如图1，由折叠得：∠GHB=∠GHB′=$\frac{1}{2}$∠B′HB，
    ∠DB′E=∠D′B′E=$\frac{1}{2}$∠D′B′D，
    ∵四边形ABCD为矩形，
    ∴AD∥BC，
    ∴∠B′HB=′DB′D′，
    ∴∠GHB′=∠EB′H，
    ∴GF∥B′E，
    ∵∠GB′H=∠B=90°，∠B′D′E=∠D=90°，
    ∴∠GB′H=∠B′D′E，
    ∴GB′∥EF，
    ∴四边形GB′EF为平行四边形；
    拓展探究：
    如图2，OB′=OP，理由是：
    延长HB′交AD于M，延长B′O交D′P于点N，
    ∠B′HB=2∠GHB，∠DED′=2∠DEF，∠GHB=∠DEF，
    ∴∠B′HB=∠DED′，
    ∵AD∥BC，∠DMH=∠B′HB，
    ∴∠DED′=∠DMH，
    ∴ED′∥MH，
    ∴∠B′PN=∠ED′F=90°，
    ∴∠GB′P=∠B′PN，
    ∴GB′∥PD′，
    ∴∠B′GO=∠NFO，
    ∵∠GOB′=∠FON，GO=OF，
    ∴△GB′O≌△FNO，
    ∴B′O=NO，
    ∴B′O=OP．

    点评 本题是四边形的综合题，考查了矩形、平行四边形和直角三角形的性质，及三角形中位线的性质和判定，对于三角形中位线的三个结论中，若有任意两个结论则得另一结论；同时本题还要注意折叠性质中边和角的关系．

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