【题目】如图，在Rt△ABC中，∠ACB=90°，AC=8，BC=6，CD⊥AB于点D，点P从点D出发，沿线段DC向点C运动，点Q从点C出发，沿线段CA向点A运动，两点同时出发，速度都为每秒1个单位长度，当点P运动到C时，两点都停止．设运动时间为t秒．
(1)求线段CD的长；
(2)当△CPQ与△BDC相似时，求t值；
(3) 设△CPQ的面积为y，求y与t的函数关系式，并判断△PCQ的面积是否有最大值还是最小值？若有，求出t为何值时y的最值，若没有，则说明理由．
【答案】(1)线段CD的长为4.8；(2)当t为3或 
时，△CPQ与△△ABC相似；(3) 当t=
时，S最大=
．
【解析】
（1）先根据勾股定理求出AB的长，再由三角形的面积公式即可得出结论；
（2）先用t表示出DP，CQ，CP的长，再分PQ⊥CD与PQ⊥AC两种情况进行讨论；
（3）结论：△PCQ的面积是否有最大值；过点P作PH⊥AC，垂足为H，通过三角形相似即可用t的代数式表示PH，从而可以求出S与t之间的函数关系式；即可解决问题；
（1）∵∠ACB=90°，AC=8，BC=6，
∴AB=10．
∵CD⊥AB，
∴S△ABC=
BCAC=ABCD．
∴
．
∴线段CD的长为4.8．
（2）由题可知有两种情形，
设DP=t，CQ=t．则CP=4.8-t．
①当PQ⊥CD时，如图a
∵△QCP∽△ABC，△ABC∽CBD，
∴△QCP∽△CBA，
∴
，即 
，
∴t=3；
②当PQ⊥AC，如图b．
∵△PCQ∽△ABC
∴ 
，即 
，解得t=，
∴当t为3或时，△CPQ与△△ABC相似；
（3）结论：△PCQ的面积有最大．
理由：过点P作PH⊥AC，垂足为H，如图所示．
由题可知DP=t，CQ=t．
则CP=4.8-t．
∵∠ACB=∠CDB=90°，
∴∠HCP=90°-∠DCB=∠B．
∵PH⊥AC，
∴∠CHP=90°．
∴∠CHP=∠ACB．
∴△CHP∽△BCA．
∴
，
∴
，
∴
．
∴S=S△CPQ
=
；
∵-
＜0，
∴S有最大值，
∴当t=时，S最大=．
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【题目】如图，在等边三角形ABC中，点D为BC边上的一点，点D关于直线AB的对称点为点E，连接AD、DE，在AD上取点F，使得∠EFD=60°，射线EF与AC交于点G．
（1）设∠BAD=α，求∠AGE的度数（用含α的代数式表示）；
（2）用等式表示线段CG与BD之间的数量关系，并证明．
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【题目】某旅行团32人在景区A游玩，他们由成人、少年和儿童组成．已知儿童10人，成人比少年多12人．
（1）求该旅行团中成人与少年分别是多少人?
（2）因时间充裕，该团准备让成人和少年（至少各1名）带领10名儿童去另一景区B游玩．景区B的门票价格为100元/张，成人全票，少年8折，儿童6折，一名成人可以免费携带一名儿童．
①若由成人8人和少年5人带队，则所需门票的总费用是多少元?
②若剩余经费只有1200元可用于购票，在不超额的前提下，最多可以安排成人和少年共多少人带队?求所有满足条件的方案，并指出哪种方案购票费用最少．
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【题目】如图，在四边形ABCD中，AD∥BC，∠ABC＝∠ADC，对角线AC、BD交于点O，AO＝BO，DE平分∠ADC交BC于点E，连接OE．
（1）求证：四边形ABCD是矩形；
（2）若AB＝2，求△OEC的面积．
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【题目】某商场试销一种成本为50元/件的
恤．经试销发现，销售量
（件）与销售单价
（元/件）符合一次函数关系，试销数据如下表：
售价（元/件） | …… | 55 | 60 | 70 | …… |
销量（件） | …… | 75 | 70 | 60 | …… |
（1）求一次函数
的表达式；
（2）若该商场获得利润为W元，试写出利润W与销售单价
之间的关系式；销售单价定为多少时，商场可获得最大利润，最大利润是多少？
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【题目】折纸飞机是我们儿时快乐的回忆，现有一张长为290mm，宽为200mm的白纸，如图所示，以下面几个步骤折出纸飞机：（说明：第一步：白纸沿着EF折叠，AB边的对应边A′B′与边CD平行，将它们的距离记为x；第二步：将EM，MF分别沿着MH，MG折叠，使EM与MF重合，从而获得边HG与A′B′的距离也为x），则PD=______mm．
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【题目】某家庭记录了未使用节水龙头50天的日用水量(单位：m3)和使用了节木龙头50天的日用水量，得到频数分布表如下：
表1未使用节水龙头50天的日用水量频数分布表
日用水量x | 0≤x<0.1 | 0.1≤x<0.2 | 0.2≤x<0.3 | 0.3≤x<0.4 | 0.4≤x<0.5 | 0.5≤x<0.6 | 0.6≤x≤0.7 |
频数 | 1 | 3 | 2 | 4 | 9 | 26 | 5 |
表2使用了节水龙头50天的日用水量频数分布表
日用水量x | 0≤x<0.1 | 0.1≤x<0.2 | 0.2≤x<0.3 | 0.3≤x<0.4 | 0.4≤x<0.5 | 0.5≤x<0.6 |
频数 | 1 | 5 | 13 | 10 | 16 | 5 |
(1)估计该家庭使用节水龙头后，日用水量小于0.3 m3的概率；
(2)估计该家庭使用节水龙头后，一年能节省多少水?(一年按365天计算，同一组中的数据以这组数据所在范围的组中值作代表.)
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【题目】某校文学社为了解学生课外阅读情况，抽样调查了部分学生每周用于课外阅读的时间，过程如下：
数据收集：从全校随机抽取20名学生，进行了每周用于课外阅读时间的调查，数据如下(单位：min)：
30 | 60 | 81 | 50 | 40 | 110 | 130 | 146 | 90 | 100 |
60 | 81 | 120 | 140 | 70 | 81 | 10 | 20 | 100 | 81 |
整理数据：按如下分段整理样本数据并补全表格：
课外阅读时间x(min) | 0≤x<40 | 40≤x<80 | 80≤x<120 | 120≤x<160 |
等级 | D | C | B | A |
人数 | 3 | ____ | 8 | ____ |
分析数据：补全下列表格中的统计量：
平均数 | 中位数 | 众数 |
80 | ____ | ____ |
得出结论：
⑴用样本中的统计量估计该校学生每周用于课外阅读时间的情况等级为_____；
⑵如果该校现有学生400人，估计等级为“B”的学生有多少人？
⑶假设平均阅读一本课外书的时间为320分钟，请你选择样本中的一种统计量估计该校学生每人一年(按52周计算)平均阅读多少本课外书?
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【题目】某校为了解高一年级住校生在校期间的月生活支出情况，从高一年级600名住校学生中随机抽取部分学生，对他们今年4月份的生活支出情况进行调查统计，并绘制成如下统计图表：
组别 | 月生活支出x（单位：元） | 频数（人数） | 频率 |
第一组 | x＜300 | 4 | 0.10 |
第二组 | 300≤x＜350 | 2 | 0.05 |
第三组 | 350≤x＜400 | 16 | n |
第四组 | 400≤x＜450 | m | 0.30 |
第五组 | 450≤x＜500 | 4 | 0.10 |
第六组 | x≥500 | 2 | 0.05 |
请根据图表中所给的信息，解答下列问题：
（1）在这次调查中共随机抽取了 名学生，图表中的m＝ ，n ；
（2）请估计该校高一年级600名住校学生今年4月份生活支出低于350元的学生人数；
（3）现有一些爱心人士有意愿资助该校家庭困难的学生，学校在本次调查的基础上，经过进一步核实，确认高一（2）班有A，B，C三名学生家庭困难，其中A，B为女生，C为男生．李阿姨申请资助他们中的两名，于是学校让李阿姨从A，B，C三名学生中依次随机抽取两名学生进行资助，请用列表法（或树状图法）求恰好抽到A，B两名女生的概率．
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