Question

9．如图，在△ABC内任取一点P，连接并延长AP、BP、CP，分别交对边于点D、E、F，则$\frac{PD}{AD}$+$\frac{PE}{BE}$+$\frac{PF}{CF}$=1．

Answer 1

分析 由三角形的面积入手，即S_△PBC+S_△PAC+S_△PAB=S_△ABC，通过化简可得面积与线段之间的关系，进而即可求解．

解答 解：∵S_△PBC+S_△PAC+S_△PAB=S_△ABC①
∴$\frac{{S}_{△PBC}}{{S}_{△ABC}}$+$\frac{{S}_{△PAC}}{{S}_{△ABC}}$+$\frac{{S}_{△PAB}}{{S}_{△ABC}}$=1，②
由面积概念得：$\frac{{S}_{△PDC}}{{S}_{△ADC}}$=$\frac{PD}{AD}$，$\frac{{S}_{△PDB}}{{S}_{△ADB}}$=$\frac{PD}{AD}$，
∴$\frac{{S}_{△PDC}{+S}_{△PDB}}{{S}_{△ADC}{+S}_{△ADB}}$=$\frac{PD}{AD}$，
即$\frac{{S}_{△PBC}}{{S}_{△ABC}}$=$\frac{PD}{AD}$③
同理得：$\frac{{S}_{△PAC}}{{S}_{△ABC}}$=$\frac{PE}{BE}$④
$\frac{{P}_{△PAB}}{{S}_{△ABC}}$=$\frac{PF}{CF}$⑤
把式③、④、⑤、代入式②得：$\frac{PD}{AD}$+$\frac{PE}{BE}$+$\frac{PF}{CF}$=1．
故答案为：1．

点评 本题主要考查了三角形的面积比与对应边的比值之间的关系，能够熟练掌握其内在联系，并能求解一些比较复杂的问题．