Question

工厂有一批长3dm、宽2dm的矩形铁片，为了利用这批材料，在每一块上裁下一个最大的圆铁片⊙O₁之后（如图所示），再在剩余铁片上裁下一个充分大的圆铁片⊙O₂．
（1）求⊙O₁、⊙O₂的半径r₁、r₂的长；
（2）能否在剩余的铁片上再裁出一个与⊙O₂ 同样大小的圆铁片？为什么？

Answer 1

分析：（1）连接O₁ O₂，过O₁作直线O₁E∥AB，过O₂作直线O₂E∥BC，由相切两圆的性质可知O₁E⊥O₂E，在Rt△O₁ O₂E中利用勾股定理可求出r₁、r₂的长；
（2）由（1）的结论比较出r₁、r₂的大小，再根据CD=2dm，CD＜4r₂即可得出结论．

解答：解：（1）如图，矩形ABCD中，AB=2r₁=2dm，即r₁=1dm．…（1分）
BC=3dm，⊙O₂应与⊙O₁及BC、CD都相切．
连接O₁ O₂，过O₁作直线O₁E∥AB，过O₂作直线O₂E∥BC，则O₁E⊥O₂E．
在Rt△O₁ O₂E中，O₁ O₂=r₁+r₂，O₁E=r₁-r₂，O₂E=BC-（r₁+r₂）．
由 O₁ O₂²=O₁E²+O₂E²，
即（1+r₂）²=（1-r₂）²+（2-r₂）²．
解得，r₂=4±2

3

．
又∵r₂＜2，
∴r₁=1dm，r₂=（4-2

3

）dm．…（3分）

（2）不能．…（4分）
∵r₂=（4-2

3

）＞4-2×1.75=

1

2

（dm），
即r₂＞

1

2

dm，
又∵CD=2dm，
∴CD＜4r₂，故不能再裁出所要求的圆铁片．…（5分）

点评：本题考查的是相切两圆的性质、勾股定理及矩形的性质，根据题意作出辅助线，构造出直角三角形是解答此题的关键．