Question

30、先分解因式（1）、（2）、（3），再解答后面问题；
（1）1+a+a（1+a）；
（2）1+a+a（1+a）+a（1+a）²；
（3）1+a+a（1+a）+a（1+a）²+a（1+a）³
问题：
a．先探索上述分解因式的规律，然后写出：1+a+a（1+a）+a（1+a）²+a（1+a）³+…+a（1+a）²⁰⁰⁷分解因式的结果是

（1+a）²⁰⁰⁸

．
b．请按上述方法分解因式：1+a+a（1+a）+a（1+a）²+a（1+a）³+…+a（1+a）ⁿ（n为正整数）．

Answer 1

分析：（1）提取公因式（1+a）即可得出答案；
（2）提取公因式（1+a），再结合同底数幂的乘法运算法则即可得出答案；
（3）提取公因式（1+a）再结合同底数幂的乘法运算法则即可得出答案；
a．根据以上规律即可得出运算规律，得出答案即可；
b．根据以上规律即可得出运算规律，得出答案即可．

解答：解：（1）原式=（1+a）（1+a）=（1+a）²；
（2）原式=（1+a）[1+a+a（1+a）]=（1+a）（1+a）（1+a）=（1+a）³；
（3）原式=（1+a）[1+a+a（1+a）+a（1+a）²]，
=（1+a）（1+a）[1+a+a（1+a）]，
=（1+a）²（1+a）（1+a），
=（1+a）⁴，
a．（1+a）²⁰⁰⁸，
b．原式=（1+a）[1+a+a（1+a）+a（1+a）²++a（1+a）^n-1]，
=（1+a）（1+a）[1+a+a（1+a）+a（1+a）²++a（1+a）^n-2]，
=（1+a）²（1+a）[1+a+a（1+a）+a（1+a）²++a（1+a）^n-3]，
=（1+a）^n-1（1+a）（1+a）=（1+a）ⁿ⁺¹．

点评：此题主要考查了提取公因式发因式分解，根据运算结果得出规律，有利于培养同学们观察能力．