Question

20．如图，AD切⊙O于A，DBP交⊙O于B，P，C为AB的中点，DC的延长线交AB于E，求证：$\frac{B{D}^{2}}{A{D}^{2}}$=$\frac{AE}{EP}$．

Answer 1

分析 作辅助线，构建平行线，得AE=BM，$\frac{BD}{PD}=\frac{BM}{PE}$，由切割线定理得：AD²=BD•PD，代入所求的比$\frac{B{D}^{2}}{A{D}^{2}}$中，又因为AE=BM，则得出结论．

解答 证明：过B作BM∥AP，交DE于M，
∵AD是⊙O的切线，
∴AD²=BD•PD，
∴$\frac{B{D}^{2}}{A{D}^{2}}$=$\frac{B{D}^{2}}{BD•PD}$=$\frac{BD}{PD}$，
∵C为AB的中点，
∴AC=BC，
∵BM∥AE，
∴AE=BM，$\frac{BD}{PD}=\frac{BM}{PE}$，
∴$\frac{BD}{PD}=\frac{AE}{PE}$，
∴$\frac{B{D}^{2}}{A{D}^{2}}$=$\frac{AE}{PE}$．

点评 本题考查了切割线定理和平行线分线段成比例定理，关键是辅助线的作法，作平行线后得比例式与切割线定理所得比例式相结合就可以得出结论．