Question

如图1是我们常用的一次性纸杯，下面我们来研究一次性纸杯的制作方法之一．如图2，取一个半径为18cm的圆形纸板，再裁下一个半径为6cm的同心圆纸板，沿半径OA、OB及CD、AB剪下，由AB、CD及线段AC和BD围成的部分即可围成纸杯侧面，然后在扇形OCD中再截去一个面积最大的圆形纸板．①、若∠AOB=60°，利用图3求裁去的面积最大的圆形纸板半径．②、①中的圆形纸板足够做纸杯的底面，但要进行简单的剪裁，至此，纸杯也就制成了，通过以上数据，请你计算一次性纸杯的高，并回答它最接近于哪一个整数值．

Answer 1

分析：①当原型纸板与OC、OD、弧CD相切时面积最大，设纸板的圆心为M，作MF⊥OC，利用勾股定理即可求得纸板的半径；
②首先求得杯顶的圆的半径减去杯底的半径，利用勾股定理即可求得其高度．

解答：解：①∵原型纸板与OC、OD、弧CD相切时面积最大，
如图设纸板的圆心为M，作MF⊥OC，
设MF=x，则OM=6-x，
在Rt△MFO中，∠MOF=30°，
则OM=2MF，
即6-x=2x，
解得x=2
∴裁去的面积最大的圆形纸板半径为2cm；
②弧AB的长为

120π×18

180

=12π，
设杯子顶的半径为r，
则2πr=12π，
故r=6，
杯子顶部的半径为6cm，
同理可得杯子底边的半径为2cm
∴杯子的高为

(18-6)2-(6-2)2

≈11.31cm
∴杯子的高最接近整数11．

点评：本题考查了圆锥的计算，解题的关键是从实际问题中整理出圆锥的模型并利用圆锥的知识求解．