Question

【题目】综合与实践﹣﹣旋转中的数学

问题背景：在一次综合实践活动课上，同学们以两个矩形为对象，研究相似矩形旋转中的问题：已知矩形ABCD∽矩形A′B′C′D′，它们各自对角线的交点重合于点O，连接AA′，CC′．请你帮他们解决下列问题：

观察发现：（1）如图1，若A′B′∥AB，则AA′与CC′的数量关系是______；

操作探究：（2）将图1中的矩形ABCD保持不动，矩形A′B′C′D′绕点O逆时针旋转角度α（0°＜α≤90°），如图2，在矩形A′B′C′D′旋转的过程中，（1）中的结论还成立吗？若成立，请证明；若不成立，请说明理由；

操作计算：（3）如图3，在（2）的条件下，当矩形A′B′C′D′绕点O旋转至AA′⊥A′D′时，若AB=6，BC=8，A′B′=3，求AA′的长．

Answer 1

【答案】AA′=CC′

【解析】

（1）连接AC、A′C′，根据题意得到点A、A′、C′、C在同一条直线上，根据矩形的性质得到OA=OC，OA′=OC′，得到答案；

（2）连接AC、A′C′，证明△A′OA≌△C′OC，根据全等三角形的性质证明；

（3）连接AC，过C作CE⊥AB′，交AB′的延长线于E，根据相似多边形的性质求出B′C′，根据勾股定理计算即可．

（1）AA′=CC′，

理由如下：连接AC、A′C′，

∵矩形ABCD∽矩形A′B′C′D′，∠CAB=∠C′A′B′，

∵A′B′∥AB，

∴点A、A′、C′、C在同一条直线上，

由矩形的性质可知，OA=OC，OA′=OC′，

∴AA′=CC′，

故答案为：AA′=CC′；

（2）（1）中的结论还成立，AA′=CC′，

理由如下：连接AC、A′C′，则AC、A′C′都经过点O，

由旋转的性质可知，∠A′OA=∠C′OC，

∵四边形ABCD和四边形A′B′C′D′都是矩形，

∴OA=OC，OA′=OC′，

在△A′OA和△C′OC中，

，

∴△A′OA≌△C′OC，

∴AA′=CC′；

（3）连接AC，过C作CE⊥AB′，交AB′的延长线于E，

∵矩形ABCD∽矩形A′B′C′D′，

∴，即，

解得，B′C′=4，

∵∠EB′C=∠B′C′C=∠E=90°，

∴四边形B′ECC′为矩形，

∴EC=B′C′=4，

在Rt△ABC中，AC==10，

在Rt△AEC中，AE==2，

∴AA′+B′E=2﹣3，又AA′=CC′=B′E，

∴AA′=．