Question

【题目】学校数学兴趣小组利用机器人开展数学活动．在相距个单位长度的直线跑道上，机器人甲从端点出发，匀速往返于端点、之间，机器人乙同时从端点出发，以大于甲的速度匀速往返于端点、之间．他们到达端点后立即转身折返，用时忽略不计．兴趣小组成员探究这两个机器人迎面相遇的情况，这里的“迎面相遇”包括面对面相遇、在端点处相遇这两种．

（观察）

①观察图，若这两个机器人第一次迎面相遇时，相遇地点与点之间的距离为个单位长度，则他们第二次迎面相遇时，相遇地点与点之间的距离为 _____个单位长度；

②若这两个机器人第一次迎面相遇时，相遇地点与点之间的距离为个单位长度，则他们第二次迎面相遇时，相遇地点与点之间的距离为 _____个单位长度；

（发现）

设这两个机器人第一次迎面相遇时，相遇地点与点之间的距离为个单位长度，他们第二次迎面相遇时，相遇地点与点之间的距离为个单位长度．兴趣小组成员发现了与的函数关系，并画出了部分函数图象（线段，不包括点，如图所示）．

①＝ _____；

②分别求出各部分图象对应的函数表达式，并在图中补全函数图象；

（拓展）

设这两个机器人第一次迎面相遇时，相遇地点与点之间的距离为个单位长度，他们第三次迎面相遇时，相遇地点与点之间的距离为个单位长度．若这两个机器人第三次迎面相遇时，相遇地点与点之间的距离不超过个单位长度，则他们第一次迎面相遇时，相遇地点与点之间的距离的取值范围是 _____．（直接写出结果）

Answer 1

【答案】【观察】：①；②；【发现】：①；②见解析；【拓展】：0＜x≤12或48≤x≤72．

【解析】

[观察]①设此时相遇点距点A为m个单位，根据题意列方程即可得到结论；

②此时相遇点距点A为m个单位，根据题意列方程即可得到结论；

[发现]①当点第二次相遇地点刚好在点B时，设机器人甲的速度为v，则机器人乙的速度为，根据题意列方程即可得到结论；

②设机器人甲的速度为v，则机器人乙的速度为，根据题意列函数解析式即可得到结论；

[拓展]由题意列不等式即可得到结论．

[观察]①∵相遇地点与点之间的距离为个单位长度，

∴相遇地点与点之间的距离为个单位长度，

设机器人甲的速度为，

∴机器人乙的速度为，

∴机器人甲从相遇点到点B所用的时间为，

机器人乙从相遇地点到点再返回到点所用时间为，而，

∴设机器人甲与机器人乙第二次迎面相遇时，

机器人乙从第一次相遇地点到点，返回到点，再返回向时和机器人甲第二次迎面相遇，

设此时相遇点距点为个单位，

根据题意得，，

，

故答案为：；

②∵相遇地点与点之间的距离为个单位长度，

∴相遇地点与点之间的距离为个单位长度，

设机器人甲的速度为，

∴机器人乙的速度为，

∴机器人乙从相遇点到点再到点所用的时间为，

机器人甲从相遇点到点所用时间为，而，

∴设机器人甲与机器人乙第二次迎面相遇时，机器人从第一次相遇点到点，再到点，返回时和机器人乙第二次迎面相遇，

设此时相遇点距点为个单位，

根据题意得，，

，

故答案为：；

[发现]①当点第二次相遇地点刚好在点时，

设机器人甲的速度为，则机器人乙的速度为，

根据题意知，，

，

经检验：是分式方程的根，

即：，

故答案为：；

②当时，点在线段上，

∴线段的表达式为，

当时，即当，此时，第二次相遇地点是机器人甲在到点返回向点时，

设机器人甲的速度为，则机器人乙的速度为，

根据题意知，，

，

即：，

补全图形如图2所示，

[拓展]①如图，

由题意知，，

∴y=5x，

∵0＜y≤60，

∴0＜x≤12；

②如图，

∴，

∴y=-5x+300，

∵0≤y≤60，

∴48≤x≤60，

③如图，

由题意得，，

∴y=5x-300，

∵0≤y≤60，

∴60≤x≤72，

∵0＜x＜75，

∴48≤x＜72，

综上所述，相遇地点与点A之间的距离x的取值范围是0＜x≤12或48≤x≤72，

故答案为0＜x≤12或48≤x≤72．