Question

15．如图，在Rt△ABC中，∠ABC=90°，DH垂直平分AB交AC于点E，连接BE、CD，CD=CE，点F在AB上，BF=BC，连接BD，BD平分∠ABC．
（1）求证：四边形BCDE是平行四边形；
（2）试判断DF与AC的位置关系，并证明你的结论．

Answer 1

分析 （1）根据线段垂直平分线性质得出AE=BE，∠AHE=∠BHE=90°，推出∠A=∠ABE，∠A+∠AEH=∠ABE+∠BEH=90°，求出∠AEH=∠ACB=∠BEH，求出∠D=∠BEH，∠CED=∠ACB，根据平行线的判定得出BE∥CD，BC∥ED，根据平行四边形的判定得出即可；
（2）求出HE=HF，根据SAS推出△DHF≌△AHE，根据全等得出∠A=∠FDH，求出∠EGD=90°即可．

解答 （1）证明：∵DH垂直平分AB交AC于点E，
∴AE=BE，∠AHE=∠BHE=90°，
∴∠A=∠ABE，∠A+∠AEH=∠ABE+∠BEH=90°，
∵∠ABC=90°，
∴∠A+∠ACB=90°，
∴∠AEH=∠ACB=∠BEH，
∵CE=CD，
∴∠D=∠CED，
∵∠AEH=∠CED，
∴∠D=∠BEH，∠CED=∠ACB，
∴BE∥CD，BC∥ED，
∴四边形BCDE是平行四边形；
（2）DF⊥AC，理由如下：
∵四边形BCDE是平行四边形，
∴DE=BC，
∵BC=BF，
∴BF=DE，
∵BD平分∠ABC，∠ABC=90°，
∴∠HBD=45°，
∵∠BHD=90°，
∴∠HBD=∠HDB=45°，
∴DH=BH=AH，
∴DH-DE=BH-BF，
∴HE=HF，
在△DHF和△AHE中，$\left\{\begin{array}{l}{DH=AH}&{\;}\\{∠DHF=∠AHE}&{\;}\\{HF=HE}&{\;}\end{array}\right.$，
∴△DHF≌△AHE（SAS），
∴∠A=∠FDH，
∵∠A+∠AEH=90°，∠DEC=∠AEH，
∴∠FDH+∠DEC=90°，
∴∠EGD=180°-90°=90°，
∴DF⊥AC．

点评 本题考查了平行四边形的性质和判定，全等三角形的性质和判定，等腰三角形的性质和判定的应用，能综合运用知识点进行推理是解此题的关键．