Question

在等腰三角形ABC中，∠A、∠B、∠C的对边分别为a、b、c，已知a=3，b和c是关于x的方程的两个实数根．
（1）求△ABC的周长．
（2）求△ABC的三边均为整数时的外接圆半径．

Answer 1

解：（1）若b、c中有一边等于3，
则方程可化为，
解得；
原方程可化为，
解得x₁=3，x₂=，
所以三角形的周长为3+3+=；
若b=c，则△=，
解得m=-4或2，
当m=-4时，方程为x²-4x+4=0，得x₁=x₂=2，
所以三角形的周长为2+2+3=7；
当m=2时，方程为x²+2x+1=0，得x₁=x₂=-1；（不合题意，舍去）
综上可知△ABC的周长为7或7．

（2）作△ABC的外接圆⊙O，连接AO并延长交⊙O于点D、交BC于E，连接BO，则有AE⊥BC．
∵△ABC的三边均为整数，
∴AB=AC=2，BC=3，
BE=BC=．AE===，
设AO=R，在Rt△BOE中，R²=（）²+（-R）²，
∴R=，
∴△ABC的三边均为整数时的外接圆半径为．
分析：（1）此题分两种情况考虑：一是b和c中有一个和a相等，是3；二是b=c，即根据方程有两个相等的实数根，由△=0求解．最后注意看是否符合三角形的三边关系．
（2）根据（1）中求解的结果，只需求得2，3，3的三角形的外接圆的半径，根据等腰三角形的三线合一和勾股定理求解．
点评：注意（1）中的多种情况，能够熟练结合等腰三角形的三线合一和勾股定理求得等腰三角形的外接圆的半径．