Question

9．若x=$\frac{\sqrt{3}}{2}$，求$\frac{1+x}{1+\sqrt{1+x}}$+$\frac{1-x}{1-\sqrt{1-x}}$的值．

Answer 1

分析 先找出1+$\sqrt{1+x}$和1-$\sqrt{1-x}$有理化因式，再根据二次根式的性质进行化简后代入求值即可．

解答 解：$\frac{1+x}{1+\sqrt{1+x}}$+$\frac{1-x}{1-\sqrt{1-x}}$
=$\frac{（1+x）（1-\sqrt{1+x}）}{（1+\sqrt{1+x}）（1-\sqrt{1+x}）}$+$\frac{（1-x）（1+\sqrt{1-x}）}{（1-\sqrt{1-x}）（1+\sqrt{1-x}）}$
=$\frac{（1+x）（1-\sqrt{1+x}）}{-x}+\frac{（1-x）（1+\sqrt{1-x}）}{x}$
=$\frac{\sqrt{1+x}+x\sqrt{1+x}-1-x+1+\sqrt{1-x}-x-x\sqrt{1-x}}{x}$
=$\frac{\sqrt{1+x}+\sqrt{1-x}}{x}+\sqrt{1+x}-\sqrt{1-x}-2$，
∵$（\frac{\sqrt{3}+1}{2}）^{2}$=$\frac{2+\sqrt{3}}{2}$，
∴$\sqrt{\frac{2+\sqrt{3}}{2}}$=$\frac{\sqrt{3}+1}{2}$，
∵$（\frac{1-\sqrt{3}}{2}）^{2}$=$\frac{2-\sqrt{3}}{2}$，
∴$\sqrt{\frac{2-\sqrt{3}}{2}}$=$\frac{1-\sqrt{3}}{2}$，
把x=$\frac{\sqrt{3}}{2}$代入代数式可得：
原式=$\frac{\sqrt{1+\frac{\sqrt{3}}{2}}+\sqrt{1-\frac{\sqrt{3}}{2}}}{\frac{\sqrt{3}}{2}}$+$\sqrt{1+\frac{\sqrt{3}}{2}}$-$\sqrt{1-\frac{\sqrt{3}}{2}}$-2
=$\frac{\sqrt{\frac{2+\sqrt{3}}{2}}+\sqrt{\frac{2-\sqrt{3}}{2}}}{\frac{\sqrt{3}}{2}}$+$\sqrt{\frac{2+\sqrt{3}}{2}}$-$\sqrt{\frac{2-\sqrt{3}}{2}}$-2
=$\frac{\frac{\sqrt{3}+1}{2}+\frac{1-\sqrt{3}}{2}}{\frac{\sqrt{3}}{2}}$+$\frac{\sqrt{3}+1}{2}$-$\frac{1-\sqrt{3}}{2}$-2
=$\frac{2}{\sqrt{3}}$+$\sqrt{3}$-2
=$\frac{2\sqrt{3}}{3}$+$\sqrt{3}$-2
=$\frac{5\sqrt{3}}{3}$-2．

点评 本题考查了二次根式的化简求值，解题的关键是化简二次根式．