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    在矩形ABCD中，点E是边CD上任意一点（点E与点C、D不重合），过点A作AF⊥AE，交边CB的延长线于点F，连接EF，与边AB相交于点G．

    （1）如果AD：AB=1：1（如图1），判断△AEF的形状，并说明理由；
    （2）如果AD：AB=1：2（如图2），当点E在边CD上运动时，判断出线段AE、AF数量关系如何变化，并说明理由；
    （3）如果AB=3，AD：AB=k，当点E在边CD上运动时，是否存在k值使△AEG为等边三角形？若存在，请直接写出k的值以及DE的长度．
    【答案】分析：（1）由AD：AB=1：1可以得出四边形ABCD是正方形，由其性质就可以得出△ABF≌△ADE，从而得出AF=AE，得出△AEF的形状；
    （2）根据条件可以得出△ABF∽△ADE，由相似三角形的性质就可以得出结论；
    （3）如图3，当△AEG是等边三角形时，由勾股定理就可以表示出AG、AE、FG，BG的值建立方程求出k值，就可以求出DE的长度．
    解答：解：（1）△AEF为等腰直角三角形
    理由：如图1，∵AD：AB=1：1，
    ∴AD=AB．
    ∵四边形ABCD是矩形，
    ∴∠D=∠ABF=∠BAD=90°．
    ∵AF⊥AE，
    ∴∠FAE=90°，
    ∴∠FAE=∠BAD，
    ∴∠FAE-∠BAE=∠BAD-∠BAE，
    即∠BAF=∠DAE．
    在△ABF和△DAE中，
    ，
    ∴△ABF≌△ADE，
    ∴AF=AE，
    ∴△AEF为等腰直角三角形；
    （2）如图2，∵四边形ABCD是矩形，
    ∴∠D=∠ABF=∠BAD=90°
    ∵AF⊥AE，
    ∴∠FAE=90°，
    ∴∠FAE=∠BAD，
    ∴△ABF∽△ADE，
    ∴．
    ∵，
    ∴，
    即AF=2AE；
    （3）∵四边形ABCD是矩形，
    ∴∠D=∠ABF=∠BAD=90°
    ∵AF⊥AE，
    ∴∠FAE=90°．
    ∵△AEG是等边三角形，
    ∴AE=AG，∠GAE=∠AEG=60°．
    ∴∠FAG=∠DAE=∠AFE=30°，
    ∴AG=FG．
    ∵AB=3，AD：AB=k，
    ∴AD=3k．
    在Rt△ADE中由勾股定理，得
    DE=k，AE=2k，
    ∴AG=FG=2k，
    ∴BG=k．
    ∵AB=3，
    ∴GB=3-2k，
    ∴k=3-2k，
    解得：k=，
    ∴DE=1．
    答：k=，DE=1．
    点评：本题考查了矩形的性质的运用，全等三角形的判定及性质的运用，相似三角形的判定及性质的运用，勾股定理的运用，直角三角形的性质的运用，解答时运用勾股定理表示线段的长度是本题的难点．
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