Question

5．如图，△AOM中，OA⊥OM，OA=2，以O为圆心，OA为半径作⊙O交AM于N，过点N作⊙O的切线交OM于P，若PM、PN为关于x的一元二次方程x²+（m-2）x+m+1=0的两根，求S_△AOM．

Answer 1

分析 由OA⊥OM，易得∠M+∠A=90°，又PN为圆的切线，易得∠ANO+∠MNP=90°，由∠A=∠ANO，易得∠M=∠MNP，可得MP=NP，可知关于x的一元二次方程x²+（m-2）x+m+1=0有两个相等的实数根，可知根的判别式△=（m-2）²-4×（m+1）=0，又PM，PN为正数，可知PM•PN=-（m-2）＞0，易得m，从而可得PM，PN，再由勾股定理得OP，易得S_△AOM．

解答 解：∵OA⊥OM，
∴∠M+∠A=90°，
∵PN为圆的切线，
∴∠PNO=90°，
∴∠ANO+∠MNP=90°，
∵ON=OA，
∴∠A=∠ANO，
∴∠M=∠MNP，
∴MP=NP，
∵PM、PN为关于x的一元二次方程x²+（m-2）x+m+1=0的两根，
∴△=（m-2）²-4×（m+1）=0，PM•PN=-（m-2）＞0，
解得：m=0，
∴关于x的一元二次方程x²+（m-2）x+m+1=0为：x²-2x+1=0，
解得：x₁=x₂=1，即PM=PN=1，
∵PN=1，ON=OA=2，∠PNO=90°，
∴OP=$\sqrt{{1}^{2}{+2}^{2}}$=$\sqrt{5}$，
∴S_△AOM=$\frac{1}{2}•MO•OA$=$\frac{1}{2}×$（1$+\sqrt{5}$）×2=1$+\sqrt{5}$．

点评 本题主要考查了一元二次方程根与系数的关系和切线的性质，根据已知条件分析出关于x的一元二次方程x²+（m-2）x+m+1=0有两个相等的实数根是解答此题的关键．