Question

如图1，直线AB过点A（m，0），B（0，n），且m+n=20（其中m＞0，n＞0）。

（1）m为何值时，△OAB面积最大？最大值是多少？
（2）如图2，在（1）的条件下，函数的图像与直线AB相交于C、D两点，若，求k的值。
（3）在（2）的条件下，将△OCD以每秒1个单位的速度沿x轴的正方向平移，如图3，设它与△OAB的重叠部分面积为S，请求出S与运动时间t（秒）的函数关系式（0<t<10）。

Answer 1

（1）当m =10时，△OAB面积最大，最大值是50（2）9（3）（0<t<10）

解：（1）∵直线AB过点A（m，0），B（0，n），且m+n=20（其中m＞0，n＞0），
∴。
∴。
∴当m =10时，△OAB面积最大，最大值是50。
（2）当m =10时，直线AB解析式为。
由对称性，，。
∴。∴。
∵点C在直线AB上，∴。
∴。
（3）如图，C（9，1），D（1，9）移动后的重叠部分为△O′C′D′，时间t时，点O′的坐标为（t，0）。

由（2）知，。
∵C′D′∥CD，∴△O′C′D′∽△OCD，△O′C′A∽△OCE。
∴，。
∴。
∴S与运动时间t（秒）的函数关系式为（0<t<10）。
（1）求出△OAB面积关于m的函数关系式，应用二次函数最值求解。
（2）由反比例函数和直线的对称性，根据曲线上点的坐标与方程的关系求解。
（3）应用△O′C′D′∽△OCD，△O′C′A∽△OCE建立比例式求解。