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12.如图,正方形ABCD的边长为a,在AB、BC、CD、DA边上分别取点A1、B1、C1、D1,使AA1=BB1=CC1=DD1=$\frac{1}{3}$a,在边A1B1、B1C1,C1D1、D1A1上分别取点A2、B2、C2、D2,使A1A2、B1B2、C1C2、D1D2=$\frac{1}{3}$A1B1,…,依次规律继续下去,则正方形AnBnCnDn的面积为(  )
A.$\frac{8}{9}{a}^{2}$B.($\frac{4}{9}$)na2C.($\frac{5}{9}$)n-1a2D.($\frac{5}{9}$)na2

分析 首先由勾股定理求得A1B12与A2B22,即可求得正方形A1B1C1D1与正方形A2B2C2D2的面积,然后得规律:正方形AnBnCnDn的面积=($\frac{5}{9}$)na2

解答 解:在Rt△A1BB1中,由勾股定理可知;A1B12=A1B2+B1B2=($\frac{2}{3}$a)2+($\frac{1}{3}$a)2=$\frac{5}{9}$a2,即正方形A1B1C1D1的面积=$\frac{5}{9}$a2
在Rt△A2B1B2中,由勾股定理可知:A2B22=A2B12+B2B12=($\frac{2}{3}$×$\frac{\sqrt{5}}{3}$a)2+($\frac{1}{3}$×$\frac{\sqrt{5}}{3}$a)2=($\frac{5}{9}$)2a2;即正方形A2B2C2D2的面积=($\frac{5}{9}$)2a2

∴正方形AnBnCnDn的面积=($\frac{5}{9}$)na2
故选D.

点评 此题考查了正方形的性质以及勾股定理.属于规律性题目,得到规律正方形AnBnCnDn的面积=($\frac{5}{9}$)na2是关键.

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