Question

【题目】（1）特例探究．

如图（1），在等边三角形ABC中，BD是∠ABC的平分线，AE是BC边上的高线，BD和AE相交于点F．

请你探究是否成立，请说明理由；请你探究是否成立，并说明理由．

（2）归纳证明．

如图（2），若△ABC为任意三角形，BD是三角形的一条内角平分线，请问一定成立吗？并证明你的判断．

（3）拓展应用．

如图（3），BC是△ABC外接圆⊙O的直径，BD是∠ABC的平分线，交⊙O于点E，过点O作BC的垂线，交BA的延长线于点F，交BD于点G，连接CG，其中cos∠ACB=，请直接写出的值；若△BGF的面积为S，请求出△COG的面积（用含S的代数式表示）．

Answer 1

【答案】(1)成立，证明见解析；（2）成立，证明见解析；（3）S.

【解析】

（1）由等边三角形的性质结合已知条件易得：AD=CD，AB=BC，∠AEB=90°，∠BAF=∠ABF=∠CBF=30°，由此可得AF=BF=2EF，从而可得，；

（2）如下图，过点D作DE⊥AB于点E，DF⊥BC于点F，过点B作BP⊥AC于点P，则易得DE=DF，由此可得S△ABD=AB·DE=AD·BP，S△CBD=BC·DF=CD·BP，把两个等式相比即可得到所求结论了；

（3）①由BC是⊙O的直径可得∠BAC=90°，结合cos∠ACB=可得sin∠ACB=，再由（2）中结论即可得到；②由已知条件易得，由OF⊥BC可得，从而可得，由此即可得到S△COG=.

（1），，理由如下：

∵△ABC为等边三角形，BD是∠ABC的平分线，AE是BC边上的高线，

∴AD=CD=AC，BE=BC ，AB=BC，∠AEB=90°，∠BAF=∠ABF=∠CBF=30°，

∴AF=BF=2EF，

∴，；

（2）一定成立，理由如下：

如下图，过点D作DE⊥AB于点E，DF⊥BC于点F，过点B作BP⊥AC于点P，

∵BD是∠ABC的平分线，

∴DE=DF，

∵S△ABD=AB·DE=AD·BP，S△CBD=BC·DF=CD·BP，

∴

∴．

（3）∵BC为直径，

∴∠BAC=90°．

在Rt△ABC中，∠BAC=90°，cos∠ACB=，

∴sin∠ACB=．

∵BD是∠ABC的平分线，

∴．

∵点G在∠ABC的平分线上，

∴△BGF和△COG等高（分别以BF、CO为底），

∴．

∵FO⊥BC，

∴=cos∠ABC=sin∠ACB=，

又∵S△BGF=S，

∴ ，

∴S△COG=S．