Question

9．如图，AB是⊙O的直径，过点B作⊙O的切线BM，弦CD∥BM，交AB于点F，且$\widehat{DA}$=$\widehat{DC}$，连接AC，AD，延长AD交BM于点E．
（1）求证：△ACD是等边三角形；
（2）连接OE，若DE=2，求OE的长．

Answer 1

分析 （1）由AB是⊙O的直径，BM是⊙O的切线，得到AB⊥BE，由于CD∥BE，得到CD⊥AB，根据垂径定理得到$\widehat{AD}=\widehat{AC}$，于是得到$\widehat{AD}=\widehat{AC}=\widehat{CD}$，问题即可得证；
（2）连接OE，过O作ON⊥AD于N，由（1）知，△ACD是等边三角形，得到∠DAC=60°又直角三角形的性质得到BE=$\frac{1}{2}$AE，ON=$\frac{1}{2}$AO，设⊙O的半径为：r则ON=$\frac{1}{2}$r，AN=DN=$\frac{\sqrt{3}}{2}$r，由于得到EN=2+$\frac{\sqrt{3}}{2}r$，BE=$\frac{1}{2}$AE=$\frac{\sqrt{3}r+2}{2}$，在R_t△DEF与R_t△BEO中，由勾股定理列方程即可得到结论．

解答 （1）证明：∵AB是⊙O的直径，BM是⊙O的切线，
∴AB⊥BE，
∵CD∥BE，
∴CD⊥AB，
∴$\widehat{AD}=\widehat{AC}$，
∵$\widehat{DA}$=$\widehat{DC}$，
∴$\widehat{AD}=\widehat{AC}=\widehat{CD}$，
∴AD=AC=CD，
∴△ACD是等边三角形；

（2）解：连接OE，过O作ON⊥AD于N，由（1）知，△ACD是等边三角形，
∴∠DAC=60°
∵AD=AC，CD⊥AB，
∴∠DAB=30°，
∴BE=$\frac{1}{2}$AE，ON=$\frac{1}{2}$AO，
设⊙O的半径为：r，
∴ON=$\frac{1}{2}$r，AN=DN=$\frac{\sqrt{3}}{2}$r，
∴EN=2+$\frac{\sqrt{3}}{2}r$，BE=$\frac{1}{2}$AE=$\frac{\sqrt{3}r+2}{2}$，
在R_t△NEO与R_t△BEO中，
OE²=ON²+NE²=OB²+BE²，
即（$\frac{r}{2}$）²+（2+$\frac{\sqrt{3}r}{2}$）²=r²+$（\frac{\sqrt{3}r+2}{2}）^{2}$，
∴r=2$\sqrt{3}$，
∴OE²=${（\sqrt{3}）}^{2}$+25=28，
∴OE=2$\sqrt{7}$．

点评 本题考查了切线的性质，垂径定理，等边三角形的判定，直角三角形的性质，勾股定理，过O作ON⊥AD于N，构造直角三角形是解题的关键．